Encontrar difeomorfismo dados campos vectoriales [cerrado]

Bueno, en realidad está buscando un grupo de difeomorfismos de un parámetro (o isometrías si se refiere al campo del vector de impulso). Este grupo se obtiene resolviendo la ecuación diferencial

$$\frac{dx}{ds}= X(x(s))\tag{1}$$ con una condición inicial genérica $z$en $s=0$en el múltiple $M$(El espacio-tiempo de Minkowski en su ejemplo). $X$¿Está su campo vectorial en $M$. Las soluciones tienen la forma $$M \times \mathbb R \ni (z,s) \mapsto \phi_s(z)$$ dónde $z$es la condición inicial, ese es el punto $x(0)= \phi_0(x) =z$y la solución adecuada de (1) con esa condición inicial, $z$, es $x_s= \phi_s(z)$. Resulta que $$\phi_0 = id\:, \quad \phi_s \circ \phi_r = \phi_{s+r}\:,\quad \phi_{-s}= (\phi_s)^{-1}\:.$$ Cada $\phi_s : M \to M$es un difeomorfismo. El grupo de un parámetro de difeomorfismos asociados a $X$es la familia de difeomorfismos $\{\phi_t\}_{t \in \mathbb R}$.

En términos generales, el grupo es solo local, es decir, no está definido para todos los valores de$s$(el$s$-el dominio depende de$z$), pero no discutiré este punto en esta presentación elemental.

En el caso concreto del campo de vector de impulso, debe resolver el sistema

$$\frac{dt}{ds}= x(s)\:,\quad \frac{dx}{ds}= t(s)$$ De esta manera encuentras que $\phi_s((t,x))= (t(s),x(s))$con $$t(s) = x\sinh(s)+ t\cosh(s)\:, \quad x(s) = x\cosh(s)+ t\sinh(s)\:.$$ Con respecto a su última pregunta sobre el campo vectorial exponencial, ahora puede resolverla usted mismo.