Componentes de vectores duales

(Este es un recuento cercano de Wald, problema 2.4b. No como tarea; solo por curiosidad y una sospecha cada vez más alarmante de que en realidad nunca entendí nada).

Dejar$Y_1 ... Y_n$Sea una colección de campos vectoriales uniformes en un$n$-variedad dimensional$M$tales que en cada punto forman un espacio vectorial tangente. Dejar$Y^{*1} ... Y^{*n}$sea ​​la base dual correspondiente. Demuestre que los componentes$(Y^{\gamma *})_\mu$de$Y^{\gamma *}$en cualquier base de coordenadas satisfacer

$$\frac{\partial (Y^{\gamma *})_\mu}{\partial x^\nu} - \frac{\partial (Y^{\gamma *})_\nu}{\partial x^\mu} = \sum_{\alpha,\beta} C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta}(Y^{\alpha *})_\mu (Y^{\beta *})_\nu$$

La sugerencia es que debe contratar ambos lados con$(Y_\sigma)^\mu (Y_\rho)^\nu$. Además, presumiblemente relevante es que el conmutador de$Y_\alpha$y$Y_\beta$se puede expresar$[Y_\alpha,Y_\beta] = \sum C^{\gamma}_{\;\alpha\beta} Y_\gamma$para algunos$C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta}$.

Ahora, mi cerebro está encontrando un error de análisis en este problema, particularmente en el lado izquierdo. Pensamientos y preguntas:

1. Así me suena el prompt: introducimos unas coordenadas con una base de coordenadas asociada$\{v_\mu\}$tal que$Y_\gamma = \sum (Y_\gamma)^\mu v_\mu$con componentes$(Y_\gamma)^\mu$en esa base de coordenadas. Luego tomamos la base dual correspondiente$\{v^{\mu *}\}$y expresar cada$Y^{\gamma *}$como$Y^{\gamma *} = \sum (Y^{\gamma *})_\mu v^{\mu *}$. Y estos$(Y^{\gamma *})_\mu$componentes son lo que tenemos en el problema. Pero... ¿qué pasa ahora? No entiendo que significa contratar con el mencionado$(Y_\sigma)^\mu (Y_\rho)^\nu$cuando ese componente está en una derivada parcial, como lo está en el LHS. Dado que estos son espacios tangentes, ¿debería tomarse la propia derivada como un vector base en la base de coordenadas?

2. Al intentar contratar el RHS, me sale esto:

$$\sum_{\alpha,\beta} C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta}\sum_\mu (Y^{\alpha *})_\mu (Y_\sigma)^\mu \sum_\nu(Y^{\beta *})_\nu (Y_\rho)^\nu$$

Ahora, para cualquier vector base de coordenadas$\{v_\nu\}$y vector dual de la base dual correspondiente$\{v^{\mu *}\}$, tenemos$v^{\mu *} (v_\nu) = \delta^{\mu}_{\;\nu}$, y por lo tanto

$$Y^{\mu *} (Y_\nu) = \delta^{\mu}_{\;\nu} = \sum_\kappa (Y^{\mu *})_\kappa v^{\kappa *} \sum_\eta (Y_{\nu})^\eta v_{\eta} = \sum_\kappa (Y^{\mu *})_\kappa (Y_{\nu})^\kappa$$

Así que el RHS simplemente se reduce a

$$\sum_{\alpha,\beta} C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta} \delta^{\alpha}_{\;\sigma} \delta^{\beta}_{\;\rho} = C^{\gamma}_{\;\;\sigma\rho}$$

Igualmente, a partir de aquí no me queda claro cómo proceder. Un exprofesor de física aconsejó "relájate y deja que las matemáticas te lleven", pero eso no parece estar funcionando.

Entonces... ¿Hay algo aquí que salte a la vista como un defecto o una brecha en mi comprensión? Supongo que hay una forma metódica de hacer esto, pero no puedo entenderlo. ¿Alguien sería tan amable de dar una pista sobre cómo continuar?