Campos de exterminio conformes en Schwarzschild

En la geometría de Schwarzschild, el radio de Schwarzschild rompe la simetría de dilatación ingenua. En el caso simple de una dilatación radial$r \to \lambda r$, la geometría sólo se conserva por$R_S \to \lambda R_S$. Por lo tanto, parece ingenuamente que sería difícil encontrar una dilatación que funcione, incluso solo una dilatación radial.

Me esforcé un poco (como un ejercicio para mí) para encontrar una dilatación que funcionara, y fracasé. Lo que he encontrado es que el campo vectorial

$$X = t \partial_t + r \sqrt{1-\frac{R_S}{r}} \, \partial_r$$

que se acerca$0$como$r \to R_S$y$r \partial_r$como$r \to \infty$es casi un campo de exterminio conforme. Sin embargo, la derivada de mentira de la métrica es

$$\mathcal{L}_X g = 2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r}} \left( \begin{array}{cccc} -\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}- \frac{R_S}{2r} & & & \\ & \left( 1 - \frac{R_S}{r} \right)^{-1} & & \\ & & r^2 & \\ & & & r^2 \sin^2 \theta \end{array} \right)$$

Entonces, el componente tt de la métrica lo estropea todo. Dedico un pequeño esfuerzo a tratar de modificar este campo vectorial (agregándole un componente temporal, agregando una dependencia de tiempo explícita, etc.), pero hasta ahora nada ha funcionado.