¿Qué son los "números indefinibles" en el análisis y la filosofía reales?

¿Qué pasa si algún resultado importante en el análisis real hace uso de la noción de un número real "indefinible"? (Cualquiera que sea el significado de "importante" para el lector). ¿O se usa más en la filosofía de las matemáticas?

Para cualquiera que necesite algunos consejos para hacer fluir los jugos (¡como yo!), la página de Wikipedia sobre números definibles tiene bastantes clases de casos donde los números indefinibles son importantes, en caso de que alguno de ellos califique como "importante" lo suficiente como para hacer una respuesta de: en.wikipedia.org/wiki/Definable_real_number
¿Tienes un ejemplo de tal resultado? No estoy seguro de cuál es el problema de la filosofía aquí, muchos resultados matemáticos hacen uso de cosas inusuales y son resultados perfectamente razonables.
@CortAmmon Sí, vi eso. No hay referencias a nada que considero un análisis real, importante o no. Gracias de cualquier manera.
@JamesKingsbery No, no tengo un solo ejemplo. Publicaría la pregunta en Math SE, pero, por experiencia pasada, sé que se volverían locos y rechazarían mi pregunta como locos. Pensé que los lectores aquí podrían estar menos interesados ​​​​en la pregunta.
@DanChristensen PhilosophySE parece ser más amable en ese sentido. Sin embargo, es posible que necesitemos más información sobre a qué se refiere. El hecho de que la página de Wikipedia sobre el tema no incluya nada que considere "análisis real" sugiere que el término puede ser lo suficientemente ambiguo como para justificar una explicación del significado que está buscando. (Bienvenido a Filosofía SE. En Matemáticas SE, te rechazamos como loco. ¡Aquí, cuestionamos el significado de cada una de tus palabras! Simplemente no puedes ganar, ¿verdad? =))
@CortAmmon ¿Qué es el análisis real? Piensa en cálculo. Consulte "Análisis real" en en.wikipedia.org/wiki/Real_analysis Es un subcampo del análisis matemático. Ver en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_analysis
¿No es la completitud de los números reales el ejemplo más simple y obvio? Solo hay muchos números contables definibles, y el continuo debe ser incontable. Si todo lo que tenemos son números definibles, la línea real tiene huecos, como los tiene la línea real constructiva.
posible duplicado, al menos relacionado, Números Reales Indefinibles

Respuestas (4)

La noción es importante en la lógica matemática y la teoría de modelos, pero no en las matemáticas clásicas, incluido el análisis real tal como se entiende tradicionalmente. Los predicados definibles son generalmente importantes en la teoría de los sistemas formales porque muestran cuán expresivos son, por ejemplo, el teorema de Tarski sobre la indefinibilidad de la verdad establece que en un sistema formal consistente que incluye aritmética básica, el predicado de verdad es indefinible (esto está estrechamente relacionado con incompletud de Gödel).

Los números reales indefinibles son los números que no pueden ser descritos únicamente por predicados definibles, por lo que la noción es útil para estudiar el lenguaje del análisis en lugar de sus objetos, que es el tema principal del análisis clásico. Aún así, los números indefinibles pueden ayudar a expresar ciertos hechos sobre los alcances superiores del universo de conjuntos. Mi favorito es el número real indefinible 0#descubierto por Silver en 1966. Su existencia es indemostrable en la teoría estándar de conjuntos (ZFC), pero tiene un efecto decisivo en la estructura del universo de conjuntos. Si 0# no existe, entonces el universo de conjuntos se parece mucho al universo construible de Gödel, que se comporta bien y se puede describir muy bien; el universo es "inefable" dentro de su parte construible.

El final de su respuesta es al revés: "0 # existe" implica que V está muy lejos de L.
@Noah Schweber Lo siento, lo arreglé.

Huyendo de la idea de que hay números indefinibles porque hay números reales definibles infinitamente contables y números reales infinitos incontables, un resultado que podría considerarse "importante" es que una máquina de Turing no puede modelar perfectamente ningún sistema caótico continuo. Por lo tanto, si existe un sistema dinámico verdaderamente caótico, no podría ser parte de una simulación del universo que se está ejecutando en una máquina de Turing.

Vea el brillante análisis de Joel David Hamkins (su respuesta comprobada a la pregunta) de la opinión común de que debe haber reales indefinibles ya que solo hay muchos definibles numerables. mathoverflow.net/questions/44102/…
Es matemática muy simple concluir de las propiedades de incontable y contable que debe haber números indefinibles si el conjunto de reales es incontable. Hamkins dice: "si los axiomas de ZFC de la teoría de conjuntos son consistentes, entonces hay modelos de ZFC en los que cada objeto, incluido cada número real, ..., es definible de forma única sin parámetros". Esto prueba que ZFC es inconsistente. De hecho, nada es incontable. Todas las diagonales de las listas de Cantor son contables. El argumento de Cantor muestra únicamente que su forma torpe de enumerar falla. Otras formas tienen éxito.
@Heinrich: ¿Qué quiere decir con "la forma [...] torpe de Cantor de enumerar"? Por lo que puedo leer, la prueba diagonal de Cantor no proporciona tal forma, sino que expresa su prueba de tal manera que se aplica a cualquier enumeración que pueda definirse, independientemente de cómo funcione.
@Heinrich ¿Tenía la intención de dar un paso más allá de la declaración típicamente comprobada de que no se puede demostrar que ZFC es consistente y, de hecho, hacer la declaración de que ZFC es inconsistente? Esta última es una afirmación mucho más sólida y, por lo general, los matemáticos no la aceptan.

Parafraseando la respuesta de Joel Hamkins (señalada por el usuario 4894) sobre la noción de reales indefinibles.

La descripción ingenua de la indefinibilidad señala que solo hay un número contable de formas en que podemos describir un número, pero hay un número incontable de reales, por lo tanto, debe haber reales que no podemos describir; sin embargo, la noción de definibilidad es problemática: dado que la línea real puede estar bien ordenada (en ZFC), podemos pedir el real positivo menos indefinible; pero esto lo define, y también por construcción es indefinible y entonces esto nos ha llevado directamente a una contradicción.

Al menos parte del problema aquí es la naturaleza del lenguaje lógico que usamos con ZFC.

El punto es que el concepto de definibilidad es un concepto de segundo orden, que solo tiene sentido desde una perspectiva fuera del universo. El teorema de Tarski sobre la indefinibilidad de la verdad muestra que no existe una definición de primer orden que nos permita un tratamiento uniforme de decir que una fórmula particular es verdadera en un punto y solo en ese punto.

Por lo tanto, la noción de definibilidad es importante al sugerir que la lógica de primer orden no es suficiente.

Solo me gustaría señalar, y lo hago en una respuesta y no en un comentario porque no tengo suficiente reputación, que la estrategia estándar del "número menos indefinible" que menciona @Mozibur Ullah no funciona para el verdadero números.

Para que esto funcione, la estructura debe estar no solo ordenada, sino bien ordenada . JDH (mencionado en la respuesta de Mozibur) habla de ordinales, que son; los números reales no lo son.

Debido a que los números reales no están bien ordenados (bajo el orden estándar, y sin el Axioma de Elección, es posible que no tengan un buen orden), es posible que para cualquier número real, haya un número real indefinible menor que por lo que no existe el menor número real indefinible.

No solo es posible, sino que si x es indefinible, entonces también lo es x-1.
Sí. Sin embargo, [todavía existe la posibilidad de que todavía sean modelos de ZFC donde] cada real es definible (como dice Hamkins ).
¿Qué son los "números indefinibles" en el análisis y la filosofía reales?
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