¿Es el tiempo un observable en la Mecánica Cuántica Relativista?

¿Se convierte el tiempo en un observable?

No. Se sabe que un operador$T$que satisface$[H,T]=i\hbar$es autoadyacente y$H$ilimitado por debajo o anti-auto-adjunto. Por lo tanto, la teoría es intrínsecamente defectuosa (energía negativa arbitraria) o$T$no es observable (anti-auto-adjunto$\Rightarrow$valores propios imaginarios).

El teorema de que el tiempo no es un observable es bastante general, Unruh W., Wald R. lo prueban en "El tiempo y la interpretación de la gravedad cuántica canónica, Physical Review D Volumen 40 número 8 1989" de la siguiente forma: "... en el contexto de la mecánica cuántica ordinaria de Schrödinger, ninguna variable dinámica en un sistema con hamiltoniano acotado desde abajo puede actuar como un reloj perfecto en el sentido de que siempre hay una amplitud que no desaparece para que cualquier variable dinámica realista 'corra hacia atrás'".

La teoría cuántica de campos evita el problema al reducir las coordenadas espaciales a parámetros que enumeran los operadores de campo.$\varphi(x,t)$también.

En general, no espere que haya nada cuántico que sea covariante de Lorentz en el nivel fundamental. Lo que le importa a la gente es la covarianza de Lorentz en el nivel de observables, no más.

La pregunta es si el tiempo es un operador en el sentido de${\hat T}|t\rangle~=~t|t\rangle$. A primera vista, esto parecería tener sentido porque tenemos un operador de posición${\hat X}|x\rangle~=~x|x\rangle$. Sin embargo, esto no funciona. Esta es una pregunta sutil en muchos sentidos.

La mecánica cuántica es unitaria. Considere un vector de estado$|\psi(t)\rangle$evolucionar en un pequeño incremento de tiempo por lo que$|\psi(t)\rangle~\rightarrow~|\psi(t + \delta t)\rangle$. Una expansión de Taylor esto da

$$\psi(t + \delta t)\rangle~=~|\psi(t)\rangle + \frac{\partial|\psi(t)\rangle}{\partial t}\delta t + O(\delta t^2).$$ Ahora escribe $|\psi(t)\rangle~=~e^{-i\omega t}|\psi(t_0)\rangle$, y usamos la relación tipo De Broglie $\omega~=~E/\hbar$, para que la energía $E$es un valor propio del hamiltoniano ${\hat H}|E\rangle~=~E|E\rangle$. Podemos ver que el operador hamiltoniano es el generador hermitiano del operador de desarrollo de tiempo unitario $U(t)~=~e^{i{\hat H}t/\hbar}$. El hamiltoniano es entonces el generador que dice cómo evoluciona un estado como $t~\rightarrow~t' > t$, y ${\hat H}~=~i\hbar\partial/\partial t$.

Supongamos que el tiempo es un operador. Ahora podemos examinar el desarrollo energético de un estado$|\psi(E)\rangle~\rightarrow~|\psi(E + \delta E)\rangle$y de la misma manera podemos ver que el operador de tiempo es${\hat T}~=~-i\hbar\partial/\partial E$. Hasta ahora las cosas parecen estar bien. Podemos calcular el conmutador de los dos operadores que actúan sobre$|\psi(t)\rangle$y$|\psi(E)\rangle$

$$[{\hat T}, {\hat E}]|\psi(t)\rangle = [{\hat T}, i\hbar\frac{\partial}{\partial t}]|\psi(t)\rangle$$ $$= -i\hbar\left({\hat T}\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle~-~\frac{\partial}{\partial t}\big({\hat T}|\psi(t)\rangle\big)\right)~=~i\hbar|\psi(t)\rangle.$$ Casi lo mismo funciona si consideramos $|\psi(E)\rangle$con ${\hat T}~=~-i\hbar\partial/\partial E$.

Considere un operador de tiempo hermitiano${\hat T}$tal que$[{\hat T},~H]~=~i\hbar$, por lo que un operador unitario$U_\epsilon~=~exp(-i\epsilon{\hat T})$existe Se trata de un operador de desarrollo energético, donde$\epsilon$está en el conjunto de los reales. El estado$\psi$en la base propia de un hamiltoniano$H\psi~=~E\psi$, con conmutador

$$[U_\epsilon,~H]~=~\sum_{n=0}^\infty{{(-i\epsilon)^n}\over{n!}}[{\hat T}^n,~H]~=~-\epsilon U_\epsilon.$$ define el operador compuesto $HU_\epsilon$ $$HU_\epsilon\psi~=~(U_\epsilon H~-~[U_\epsilon,~H])\psi~=~(E~+~\epsilon)U_\epsilon\psi.$$ $U_\epsilon\psi$es un estado propio del hamiltoniano con valor propio $E~+~\epsilon$. el hamiltoniano $HU_\epsilon$no es discreta ni acotada por debajo, ya que $\epsilon$tiene un continuo de valores sobre los reales. Si el hamiltoniano $H$es discreta y acotada por debajo de la $U_\epsilon$asigna estos valores propios en todo el conjunto de reales, y el operador de tiempo no existe

Definir el operador de tiempo

$${\hat T}~=~i\hbar\sum_{j\ne k}{{|E_j\rangle\langle E_k|}\over{E_j~-~ E_k }}.$$ que actúa sobre un ket $|t\rangle~=~N^{1/2}\sum_nexp(iE_nt/\hbar)$como $${\hat T}|t\rangle~=~i\hbar\sum_{j\ne k}{{|E_j\rangle\langle E_k|}\over{E_j~-~E_k }}|t\rangle~=~iN^{-1/2}\hbar\sum_{j\ne k}(E_j - E_k)^{-1}|E_j\rangle e^{-iE_kt/ħ}.$$ Esta es una suma de Fourier, que en el límite continuo da $t|t\rangle$por la fórmula integral de Cauchy. Ahora calcule los elementos de la matriz de $[T,~H]$para $|\psi\rangle~=~\sum_ja_j|E_j\rangle$ $$\sum_ja_j\langle E_i|[T,~H]|E_j\rangle~=~i\hbar\sum_{j,k,l}a_j\langle E_i|(E_k~-~E_l)^{-1}|E_k\rangle\langle E_l |E_j\rangle$$ $$=~i\hbar\sum_{j,k}a_j\langle E_i| (E_k~-~E_j)^{-1}|E_k\rangle,$$ donde el elemento de la matriz $\langle E_i|(E_k~-~E_j)^{-1}|E_k\rangle~=~\delta_{ik}(E_k~-~E_j)^{-1}$. $|E_i\rangle$no está en la suma proyectiva del operador de tiempo para $[{\hat T},~H]~=~i\hbar$, y en general $[{\hat T},~ H]~=~0$.

Una secuencia de estados de Cauchy convergerá a un estado acotado$|\psi\rangle~=$ $\sum_{j=0}^Na_j(N)|E_j\rangle$, para$N$el límite en el conjunto completo. para el coeficiente$\sim~(1/j)$como$N~\rightarrow~\infty$el punto de acumulación contiene un conjunto denso de puntos con$E~+~\delta E$valores propios de energía que satisfacen$\sum_j\langle E_j|\psi\rangle~=~0$. Esto significa que el conmutador$[T,~H]~=~i\hbar$se mantiene en un conjunto cero de medida, y para la función$\psi(t)$una función casi periódica.

En ese sentido, en la Mecánica Cuántica Relativista basada en la Ecuación de Dirac, ¿se hace observable el tiempo?

No, pero se trata en pie de igualdad con las coordenadas espaciales. La ecuación de Dirac es

$$(i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc )\psi$$

dónde$\psi$no es la función de onda clásica, sino un espinor de cuatro componentes . Los componentes del espinor son función de la posición del espacio-tiempo de cuatro dimensiones.$\vec s = (\vec r, ct)$, cuyo valor absoluto al cuadrado$s^2 = (ct)^2-\vec r^2$es invariante de Lorentz. Entonces, en cierto modo, no es el tiempo lo que se promueve a un observable: las coordenadas espaciales se "degradan" a etiquetas.

Actualizar :

Con una breve búsqueda en Internet, descubrí que en realidad es posible introducir un operador de tiempo y obtener una teoría consistente ("Se demuestra que la objeción de Pauli se resuelve o elude", cit.), pero aparentemente es mucho más fácil simplemente degradar las coordenadas del espacio y trátelos como etiquetas. También descubrí que es posible introducir en cierto sentido un operador de tiempo incluso en la mecánica cuántica clásica.