¿Cuál es el significado físico del producto interno de dos funciones de onda en la región cuántica?

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¿Cuál es el significado físico del producto interno de dos funciones de onda en la región cuántica?

usuario1285419

Estoy leyendo un libro para principiantes de la mecánica cuántica. En una sección, el autor muestra el producto interno de dos funciones de onda $\langle\alpha\vert\beta\rangle$ . Me pregunto cuál es el significado de ese producto. Busqué en Google eso y alguien lo llama amplitud de probabilidad, pero ese producto podría ser complejo, entonces, ¿tiene algún significado físico?

En términos de interferencia cuántica, ¿sumamos las funciones de onda o las amplitudes de probabilidad antes de sacar el cuadrado del módulo? Lo siento, recién estoy comenzando a aprender la mecánica cuántica y muchos conceptos son bastante confusos para mí.

usuario10851

Esto parece un poco extraño como se describe. Tal vez si da el nombre del texto o muestra las ecuaciones relevantes y su contexto, estaríamos en una mejor posición para ayudarlo. Puedo pensar en un par de explicaciones plausibles, pero es difícil estar seguro sin contexto.

Respuestas (2)

¿Cuál es el significado físico del producto interno de dos funciones de onda en la región cuántica?

Esto parece un poco extraño como se describe. Tal vez si da el nombre del texto o muestra las ecuaciones relevantes y su contexto, estaríamos en una mejor posición para ayudarlo. Puedo pensar en un par de explicaciones plausibles, pero es difícil estar seguro sin contexto.

unsym · Answer 1

Suponga que tiene experiencia en álgebra lineal. Lo más importante que debes saber es que el producto interior tiene el mismo significado de lo que has aprendido en la clase de álgebra lineal. El producto interior

⟨ ϕ | ψ ⟩ = \int ϕ^{*} (X) ψ (X) d X

$\left\langle \phi|\psi\right\rangle =\int\phi^{*}(x)\psi(x)dx$

tiene el significado relacionado con una proyección de un vector sobre otro vector (para una verdadera proyección, las funciones de onda deben normalizarse). Es similar a la proyección de un vector tridimensional. $\mathbf{\vec{v}}=a\hat{\mathbf{x}}+b\hat{\mathbf{y}}+c\hat{\mathbf{z}}$ en otro vector unitario $\mathbf{\hat{x}}$ que te da los resultados $\mathbf{\vec{v}}\cdot\mathbf{\hat{x}}=a$ .

Primero , el producto interno puede darte el "cuadrado de longitud" de la función de onda:

⟨ ψ | ψ ⟩ = \int ψ^{*} (X) ψ (X) d X = \int | ψ (X) |^{2} d X

$\left\langle \psi|\psi\right\rangle =\int\psi^{*}(x)\psi(x)dx =\int|\psi(x)|^2dx$ Similar a

\vec{v} \cdot \vec{v} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

$\mathbf{\vec{v}}\cdot\mathbf{\vec{v}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ , para que pueda normalizar su función de onda por la condición

⟨ ψ | ψ ⟩ = 1

$\left\langle \psi|\psi\right\rangle =1$ .

En segundo lugar , le permite mostrar que dos funciones de onda son ortogonales entre sí, dado por la condición de que el producto interno evaluado a cero $\left\langle \phi|\psi\right\rangle =0$ que es el análogo a la $\mathbf{\hat{x}}\cdot\mathbf{\hat{y}}=0$ .

Tercero , si escribimos la función de onda $\psi(x)$ como una combinación lineal de funciones de onda ortonormales $\psi_{n}(x)$ :

ψ (X) = \sum_{norte} C_{norte} ψ_{norte} (X)

$\psi(x)=\sum_{n}c_{n}\psi_{n}(x)$ similar a un vector general en álgebra lineal, entonces tendremos el producto interior

⟨ ψ_{n} | ψ ⟩ = c_{n}

$\left\langle \psi_{n}|\psi\right\rangle =c_{n}$ . El significado de

c_{n}

$c_{n}$ es la amplitud de probabilidad y es un número complejo en general. Entonces la probabilidad

p_{n}

$p_{n}$ de la función de onda

ψ

$\psi$ tener el componente

ψ_{n}

$\psi_{n}$ es dado por

p_{n} = | c_{n} |^{2} = | ⟨ ψ_{n} | ψ ⟩ |^{2}

$p_{n}=|c_{n}|^{2}=|\left\langle \psi_{n}|\psi\right\rangle |^{2}$ . El significado aquí es muy importante cuando aprende a realizar mediciones.

Por último , debe sumar la amplitud de dos funciones de onda antes de tomar el cuadrado, similar a sumar la amplitud de dos ondas de agua. Más precisamente, si la nueva función de onda es $\psi(x) = A[\psi_{a}(x)+\psi_{b}(x)]$ , entonces la densidad de probabilidad en la posición $x$ es $A^2|\psi_{a}(x)+\psi_{b}(x)|^{2}$ . Tenga en cuenta que $A$ es la constante de normalización dada por la condición $\left\langle \psi|\psi\right\rangle=1$ . Es donde surge el efecto cuántico. No tome el cuadrado y luego súmelos.

Gracias hwlau. En su última declaración, dijo que debería sumar la amplitud de las funciones de onda antes de tomar el cuadrado. Entonces, ¿significa algo como lo siguiente: |<\phi_a+\phi_b|\phi_b+\phi_b>|^2, por lo que da |<\phi_a|\phi_a> + <\phi_a|\phi_b> + <\phi_b|\phi_a > + <\phi_b|\phi_b>|^2, ¿tengo razón?
No, cuando tomas el producto interno, ya es el "cuadrado de longitud". Si vuelves a tomar el cuadrado, entonces tienes "longitud a potencia 4". Además, cuando digo "longitud", es la "longitud" de toda la función de onda, no una región local en particular (x,x+dx). También me recuerda que me falta un factor de normalización al agregar dos funciones de onda. Ver la edición.
Permítanme desarrollar un punto que hizo hwlau. Supongamos que preparo un sistema cuántico en el estado $|\beta\rangle$ y luego enviarlo a través de un filtro que elige el estado $|\alpha\rangle$ . Por ejemplo, los estados podrían referirse a la polarización de la luz y el filtro podría ser un polarizador. ¿Cuál es la probabilidad por estado de que pase el filtro? Respuesta: $P = |\langle \beta | \alpha \rangle|^2$ .
A hwlau, gracias por tu explicación y perdón por mi pregunta tonta. Estoy confuso en su declaración "cuando toma el producto interno, ya es la" longitud cuadrada "", así que, según tengo entendido, $\langle\alpha|\beta\rangle$ denota el producto interno, pero podría ser complejo. Por ejemplo, si $|\alpha\rangle=e^{-i\alpha}|\beta\rangle$ , entonces $\langle\alpha|\beta\rangle=e^{i\alpha}$ . Así que no entiendo por qué el producto interno es el cuadrado de longitud aquí. Podrías explicarme más, gracias.
@ user1285419 Esta no es una pregunta tonta, es solo una pregunta básica. El producto interior es complejo en general. Sin embargo, digo que es "longitud cuadrada" por lo que escribes en el primer comentario, este es el significado de $<\psi|\psi>$ cuando la función de onda $\psi$ en el paréntesis son los mismos. En este caso, el resultado es siempre un número real positivo (ver ecuación 2), lo que significa que la longitud es cuadrada. Además, debe tener en cuenta que cuando la gente habla de la función de onda, casi siempre significa que está normalizada, lo que significa que $<\psi|\psi>=1$ (tal como lo insinuó emarti en su comentario)

resgh · Answer 2

resgh

El producto escalar que mencionas es la amplitud de probabilidad de que uno de los estados se transforme en otro. La probabilidad real se obtiene por la norma de la amplitud. Esto es lo que sucede todo el tiempo en la física cuántica.

usuario5402

También, citando a Auletta , "la expresión

⟨ ψ | U_{t} | φ ⟩

$\langle\psi|U_t|\varphi\rangle$ es la amplitud de probabilidad de que, dado un estado inicial

| φ ⟩

$|\varphi\rangle$ , mide qué tan cerca evoluciona unitariamente a un estado final

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ en el momento

t

$t$ " dónde

U_{t} = e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} (t - t_{0})}

$U_t=e^{\displaystyle -\frac{i}{\hbar}\hat{H}(t-t_0)}$ .

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