En la serie ortogonal, ¿tendría la fuerza nuclear débil un alcance infinito?

Una visión "clásica"

Aunque en realidad no tiene sentido tomar el límite "clásico" de la fuerza débil , podemos intentar verlo de manera clásica estudiando algo que los físicos llaman la ecuación de Klein-Gordon , que describe la propagación de una partícula masiva. En nuestro universo, para el caso de un potencial independiente del tiempo, toma la forma

$$\nabla^2\phi=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi\tag{1}$$ dónde$m$es la masa de la partícula. Esto produce la solución $$\phi_Y(r)\sim\frac{1}{r}e^{-\alpha mr}$$ dónde$\alpha=c/\hbar$; nos referimos a$\phi_Y$como un potencial de Yukawa (consulte estas notas para obtener una derivación de cómo se puede derivar de la ecuación de Klein-Gordon).

Si tratamos de formular la ecuación de Klein-Gordon en el universo de Egan, obtenemos

$$\nabla^2\phi=-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi\tag{2}$$ que es un caso especial de lo que Egan llama la "ecuación de onda escalar de Riemann" si establecemos$\omega_m\equiv\frac{mc}{\hbar}$, elimine la dependencia del tiempo y establezca la corriente en$\mathbf{j}=0$. Resolver esto nos da $$\phi_E(r)\sim\frac{\cos(\omega_mr)}{r}$$ que es la expresión de Egan para su versión del potencial de Coulomb. (Tenga en cuenta que en ambos casos, si establecemos$m=0$, recuperamos el potencial de Coulomb para un fotón sin masa).

Efectivamente, si tratas de ver la fuerza débil de forma clásica, encuentras que termina actuando esencialmente igual que la fuerza electromagnética. Esto tiene sentido; en ambos casos, estamos tratando con fuerzas mediadas por bosones de calibre de espín-1 masivos. Desde esta perspectiva, al principio parece que la fuerza débil podría tener un alcance infinito.

el lagrangiano

Aparentemente, Egan entra en algunos detalles sobre el Lagrangiano de la mecánica cuántica que describe los campos en su universo. Si quitamos la parte electromagnética, obtenemos

$$\mathcal{L}_{\text{EM}}=\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2}m_{\text{ph}}^2A_{\mu}A^{\mu}\tag{3}$$ con$m_{\text{ph}}$la masa del fotón. Para mí, esto se parece exactamente a lo que obtenemos si tratamos de agregar ingenuamente un fotón masivo a una teoría del electromagnetismo en nuestro universo, la acción de Proca , multiplicada por$-1$. Ahora, puede mostrar seleccionando una determinada transformación de indicador$^{\dagger}$que este lagrangiano no tiene la$\text{U}(1)$calibre la simetría asociada con la fuerza electromagnética en nuestro universo; más bien, tiene la simetría asociada con el grupo$\mathbf{R}$bajo adición (quizás no sea sorprendente, ya que los dos son bastante similares en cierto sentido ).

yo traigo$\mathcal{L}_{\text{EM}}$para señalar que el lagrangiano que describe la fuerza débil puede no parecerse mucho a la fuerza débil a la que la gente lagrangiana está acostumbrada en nuestro universo en la medida en que no tendría que obedecer la misma simetría que la nuestra ($\text{SU}(2)$), razón por la cual nuestro universo requiere el Higgs. Ecuación$(3)$es un lagrangiano perfectamente válido dependiendo de si te importan ciertas propiedades de tu teoría. Esto hace que sea difícil hablar sobre cómo se vería la fuerza débil de Egan Lagrangian. En otras palabras, mirar el Lagrangiano nos dice muy poco o, para ser más honestos, nada. Nos vamos con menos perspicacia de la que empezamos.

Una vista cuántica

Egan no parece dar más detalles sobre las interacciones entre partículas en su universo, ni sobre las masas de partículas elementales particulares (aparte de los fotones). Esto es desafortunado, porque esas son las cosas clave que necesitaríamos saber para obtener la imagen completa de la fuerza débil: la imagen clásica con la que comencé es incompleta en el mejor de los casos y engañosa en el peor. Lo que podemos decir es que parece poco probable que haya algo en su universo que cambie la forma en que las partículas pueden interactuar y descomponerse, y esto es lo que realmente limita el rango de la fuerza débil.

Suponiendo que los anchos de decaimiento $\Gamma$son los mismos para los bosones W y Z que en nuestro universo, las partículas aún tendrían vidas de$\tau\sim\hbar/\Gamma$. Todavía serían bastante masivos y aún se descompondrían rápidamente, viajando distancias finitas y pequeñas antes de descomponerse. Nada en ninguna de las páginas de Egan indica lo contrario, lo que significa que la fuerza débil es, podemos asumir, todavía una fuerza de rango extremadamente corto, sin importar lo que diga cualquier versión de la ecuación de Klein-Gordon. Los supuestos y resultados clásicos solo pueden llevarte hasta cierto punto.

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$^{\dagger}$Podemos elegir la transformación.$A_{\mu}\to A_{\mu}-\partial_{\mu}\eta$para cualquier$\eta$y expandir$F_{\mu\nu}$como

$$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$$ y mira eso$\mathcal{L}_{\text{EM}}$no retiene su forma original si tenemos el término de masa - es álgebra después de esto.