¡Si, absolutamente!

No solo puede hacer tal cosa, sino que, de hecho, se han propuesto montones de teorías métricas alternativas de la gravedad tanto antes como después de que Einstein presentara GR. Por ejemplo, la primera teoría métrica de la gravedad se debió a Nordström en 1913 . Repasemos cómo son exactamente las ecuaciones que rigen GR, y luego podemos profundizar en algunas teorías alternativas que podrían ser similares a lo que está buscando.

Revisión de la relatividad general

GR ciertamente tiene una reputación formidable, pero espero poder dar nombres a suficientes de los conceptos más fundamentales que pueden seguir junto con mi discusión. Ahora, la ecuación clave que describe cómo evoluciona el espacio-tiempo en GR es la ecuación de campo de Einstein:

$$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}g_{\mu \nu}R = 8\pi T_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu}$$

Dónde:

• $g_{\mu \nu}$es la métrica del espacio-tiempo, que codifica información sobre cómo cambian las distancias y las orientaciones a medida que viaja a través del espacio-tiempo. El$\mu$y$\nu$son índices enteros que van de 0 a 3, uno para cada dimensión espacial/temporal. Así que este objeto en realidad tiene 16 entradas, aunque resulta que la mayoría de ellas no son independientes. Cuando los índices están en la posición superior, significa que estás hablando de la inversa de la métrica en un sentido de matriz inversa.
• $R_{\mu \nu}$es el tensor de curvatura de Ricci, que contiene información sobre la curvatura del espacio-tiempo. Más específicamente, es la traza del tensor de Riemann más general$R_{\alpha \beta \gamma \delta}$:$R_{\alpha \beta} = R^\mu_{\alpha \mu \beta} = R^0_{\alpha 0 \beta} + R^1_{\alpha 1 \beta} + R^2_{\alpha 2 \beta} + R^3_{\alpha 3 \beta}$. El tensor de Riemann contiene toda la información sobre la curvatura del espacio-tiempo y es más o menos la segunda derivada de la métrica. Tenga en cuenta la convención de que los índices repetidos se suman. Los índices en la posición superior son elevados por la métrica:$R^\alpha_{\beta \gamma \delta} = g^{\alpha \mu} R_{\mu \beta \gamma \delta}$.
• $R$es el escalar de Ricci, que es la traza del tensor de Ricci:$R=R^\alpha_\alpha$. Básicamente, R es el escalar más simple que da información sobre la curvatura del espacio-tiempo , un hecho al que volveremos varias veces.
• $T_{\mu \nu}$es el tensor de energía de tensión, que te dice cómo se distribuye la materia y la energía en el espacio.
• $\Lambda$es la constante cosmológica y puede considerarse como una densidad de energía negativa que impregna todo el espacio.

Sé que es un montón de cosas para recordar si no has visto esto antes, pero incluso tener una comprensión superficial de lo que significan estos símbolos hace posible tener una discusión mucho más significativa sobre teorías alternativas de la gravedad. Las principales conclusiones de esto son:

1. El lado izquierdo de la ecuación te informa sobre la curvatura del espacio y el lado derecho te informa sobre la energía y la materia en el espacio, por eso decimos que la materia curva el espacio.
2. Los campos que gobiernan la gravedad, a saber$g_{\mu \nu}$y por extensión$R_{\mu \nu}$, son tensores reales con dos índices. Esto es lo que la gente quiere decir cuando dice que la gravedad es una teoría de espín 2 y es una gran parte de por qué tenemos tantos problemas para integrarla con la mecánica cuántica. Los procedimientos de renormalización utilizados en QM no funcionan bien con las teorías de espín 2.

La teoría de la gravedad de Nordström

Como dije antes, Nordström se adelantó a Einstein por 2 años en el desarrollo de la primera teoría métrica de la gravedad. A diferencia de las ecuaciones de campo de Einstein, la teoría de Nordströms se rige por las dos ecuaciones (usando unidades donde$G=c=1$):

$$R=24 \pi T$$ $$C_{\alpha \beta \gamma \delta} =0$$

Aquí,$T$es la traza del tensor de energía de tensión, y$C_{\alpha \beta \gamma \delta}$es el tensor de Weyl, que es esencialmente la parte sin rastro del tensor de Riemann que no es capturada por el tensor de Ricci. La segunda condición se conoce como planitud conforme y es lo mismo que requerir que la métrica se pueda escribir como

$$g_{\mu\nu} = \phi^2 \eta_{\mu \nu}$$

Dónde$\eta_{\mu \nu}$es la métrica de la relatividad especial que todos conocemos y amamos, y$\phi$es una función escalar distinta de cero en todo el espacio-tiempo.

Viniendo de las ecuaciones de campo de Einstein, podemos ver qué bien se ven estas ecuaciones: hay muchas menos variables que aparecen, y las que aparecen son todas escalares. En esta teoría, la gravedad sería una fuerza de espín 0, que son más fáciles de integrar en QM. También satisface perfectamente sus condiciones: se reduce a la relatividad especial en un universo vacío ya la gravedad newtoniana en el límite del campo débil, y predice correctamente el corrimiento al rojo gravitacional.

Entonces, si es una teoría tan buena, ¿por qué no llamamos sarcásticamente a la gente Nordström cuando se comportan de manera estúpida? Bueno, desafortunadamente no describe el universo que habitamos. Predice que no debería haber lentes gravitacionales y que las órbitas deberían preceder en la dirección incorrecta a la velocidad incorrecta, entre otras imprecisiones. Sin embargo, es una teoría matemática completamente consistente que se reduce a lo que esperamos ver para los fenómenos clásicos, por lo que sería una gran teoría para describir un universo ficticio que estás construyendo.

Otro enfoque para las teorías métricas alternativas de la gravedad

Hay otra forma de encontrar lo que está buscando, si desea más opciones. De manera similar a la física de partículas y la mecánica clásica, en lugar de comenzar con las ecuaciones de campo, podemos comenzar con una expresión matemática llamada lagrangiana y derivar las ecuaciones de campo a partir de ella. No voy a entrar en detalles de cómo se hace esto, pero todo lo que realmente necesitas saber es que tal cosa existe y determina completamente cómo se comporta la teoría. Ahora, para la relatividad general, el Lagrangiano es

$$\mathcal{L} = \frac{1}{16\pi}(R-2\Lambda) + \mathcal{L_M}$$

Dónde$\mathcal{L}_M$es el lagrangiano que describe otros campos de materia y radiación. Entonces podemos ver que desde esta perspectiva, la relatividad general es la teoría métrica de la gravedad más simple que podemos crear, ya que su acción en un universo vacío es solo el escalar de Ricci.$R$, que es el escalar más simple relacionado con la curvatura del espacio-tiempo que podemos construir.

Sin embargo, podemos construir otros Lagrangianos y mirar la teoría que crean; nuestro único requisito real es que el Lagrangiano sea un escalar (es decir, esté hecho de cantidades tensoriales/escalares y no tenga índices desapareados) para que las ecuaciones de campo funcionen para cualquier marco de referencia. Entonces, por ejemplo, podemos explorar lagrangianos como

$$\mathcal{L} = \frac{1}{16\pi}(R+a\nabla^\mu R \nabla_\mu R -2\Lambda) + \mathcal{L_M}$$

o

$$\mathcal{L} = \frac{1}{16\pi}(R+bR_{\alpha\beta\gamma\delta}R^{\alpha\beta\gamma\delta} -2\Lambda) + \mathcal{L_M}$$

dónde$a$y$b$son constantes de acoplamiento y$\nabla_{\mu}$es un operador tensorial conocido como la derivada covariante. Personalmente, no sé mucho sobre las consecuencias de estas teorías aparte de eso, ya que$a,b \rightarrow 0$se convierten en GR, pero se han publicado artículos sobre ellos anteriormente, por lo que podría ser un buen lugar para buscar si puede analizarlos.

Bueno, usarías la relatividad general si realmente quisieras. Sin embargo, incluso en un universo curvo en las partes realmente diminutas del espacio y el tiempo no habría curvatura aunque todo el universo sea curvo. Entonces, la relatividad especial podría usarse siempre que no se use en largas distancias.

Acerca de que el universo es autoconsistente, bueno pero algo así como no. Las leyes de la física serán las mismas, sí, sin embargo, la forma en que apliques las leyes de la física cambiará dependiendo de dónde te encuentres en el espacio. Entonces, en regiones más cortas del espacio, usaría la relatividad especial, pero en largas distancias o tramos de espacio en su universo, usaría la relatividad general.