¿Podría un universo con diferentes funciones de onda para las partículas elementales de las de nuestro universo ser autoconsistente?

El quid de la cuestión es

Estoy hablando de un universo en el que las funciones de onda tienen solo partes reales sin partes imaginarias, un universo descrito por algo diferente de la ecuación de Schrödinger para el análogo de la mecánica cuántica no relativista, y/o un universo descrito por algo diferente de la ecuación de Dirac para el análogo de la mecánica cuántica relativista.

Creo que todas estas ideas están unidas entre sí, y la raíz de la respuesta es simplemente el axioma de que la probabilidad debe conservarse. A partir de esto, junto con un par de otras suposiciones, puede demostrar que las funciones de onda no pueden tener valores puramente reales . A partir de esto, se hace evidente la forma de la ecuación de Schrödinger.

Por qué la función de onda debe ser compleja

digamos que a la vez$t=0$, una partícula está en el estado$|\psi(0)\rangle$(donde estoy describiendo estados cuánticos en notación bra-ket )$^{\dagger}$. Debe haber algún operador.$\hat{U}(t)$, conocido como operador de evolución temporal , que muestra cómo evoluciona este estado en el tiempo, es decir, tal que para cualquier estado futuro$|\psi(t)\rangle$, podemos escribir

$$|\psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle$$ Ahora digamos que la partícula está en un estado$|\psi_1\rangle$, y queremos encontrar la probabilidad de que esté en$|\psi_2\rangle$, que denotamos por$\langle\psi_2|\psi_1\rangle$. Naturalmente, si los dos estados son idénticos, esta probabilidad debe ser 1: hay un 100% de posibilidades de encontrar la partícula en el estado en el que se encuentra. Por lo tanto, requerimos que lo siguiente sea cierto: $$\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=1=\langle\psi(0)|\psi(0)\rangle$$ Pero podemos invocar el operador de evolución temporal para reescribir$|\psi(t)\rangle$y mira eso $$\langle\psi(0)|\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle=\langle\psi(0)|\psi(0)\rangle$$ dónde$\hat{U}^{\dagger}(t)$se conoce como el adjunto del operador. Para que la ecuación anterior sea cierta, necesitamos$\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{U}(t)=1$, que es la definición de un operador unitario . Si esto se cumple, la probabilidad se conserva.

Aquí es donde los números complejos entran en escena. Podemos demostrar que cualquier operador unitario puede escribirse en forma de exponencial complejo ; porque$\hat{U}(t)$es unitario, obedece a esa línea de razonamiento, y como tal debe ser complejo. En la mecánica cuántica, pasa a tomar la forma

$$\hat{U}(t)=e^{-i\hat{H}t/\hbar}$$ con$\hat{H}$el operador conocido como hamiltoniano y$\hbar$es la constante de Planck reducida. Vemos inmediatamente que, en general,$|\psi(t)\rangle$debe ser complejo.$^{\ddagger}$

Para obtener más información, consulte ¿Acerca de la naturaleza compleja de la función de onda? y QM sin números complejos en Physics Stack Exchange. Algunas de esas respuestas usan argumentos empíricos, pero la respuesta de pcr presenta el mismo argumento que la mía y sigue siendo puramente teórica y, por extensión, aún es aplicable a su universo.

La ecuación de Schrödinger de$\hat{U}(t)$

A partir del operador de evolución temporal, podemos derivar rápidamente una forma de la ecuación de Schrödinger observando una traducción de tiempo infinitesimal

$$\hat{U}(dt)=1-\frac{i}{\hbar}\hat{H}dt$$ en un momento$t+dt$, podemos encontrar el estado del sistema a partir de$\hat{U}(t+dt)$, que puedes convencerte a ti mismo es solo$\hat{U}(dt)\hat{U}(t)$: $$\hat{U}(t+dt)=\left(1-\frac{i}{\hbar}\hat{H}dt\right)\hat{U}(t)$$ reorganizando, $$\hat{U}(t+dt)-\hat{U}(t)=\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\right)\hat{U}(t)$$ Si dividimos ambos lados por$dt$, vemos que la izquierda nos da la expresión para la derivada temporal de$\hat{U}(t)$. Entonces podemos reescribir esto como $$i\hbar\frac{d}{dt}\hat{U}=\hat{H}\hat{U}(t)$$ Aplicando ambos lados al estado inicial$|\psi(0)\rangle$Nos da $$i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle$$ que es la ecuación de Schrödinger. Esta es una derivación rápida y sucia (fuente: Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics , segunda edición, capítulo 4).

La ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac es mucho más complicada. Divide la función de onda en cuatro componentes separados y, en realidad, son cuatro ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden acopladas separadas. No estoy tan familiarizado con la ecuación de Dirac como lo estoy con la ecuación de Schrödinger, así que no intentaré hacerle justicia, pero diré que dado que se puede pensar que surge de sacar la raíz cuadrada, así que hablar, del operador

$$\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$$ podemos ver que tal vez un factor de$i$debe colarse en alguna parte para dar cuenta de ese signo menos.

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$^{\dagger}$La función de onda$\psi$se puede encontrar a partir de un estado cuántico tomando el producto interno apropiado. Por ejemplo, si queremos la representación del espacio de posición de la función de onda, la definimos por el producto interno$\psi(x)\equiv\langle x|\psi\rangle$; si queremos la representación del espacio de momento, usamos el producto interno$\psi(p)\equiv\langle p|\psi\rangle$. Aunque técnicamente he centrado esta respuesta en los estados cuánticos , es sencillo mostrar que la lógica, por extensión, también es válida para las funciones de onda.

$^{\ddagger}$En el caso de que$\hat{H}=0$, tenemos$\hat{U}(t)=1$, y así si$|\psi(0)\rangle$es real, entonces también lo es$|\psi(t)\rangle$. Por otro lado, este es un caso trivial que se cumple solo en un conjunto particular (y extremadamente extraño) de circunstancias y, en realidad, ninguna partícula está realmente sujeta a un hamiltoniano que se desvanece.

Editar: He entendido mal la pregunta.

Una partícula elemental ES una función de onda. Su pregunta es solo preguntar si podría haber diferentes partículas elementales. La respuesta es la misma que muchas de sus otras preguntas similares:

Hay un montón de parámetros en las leyes de la física. Por ejemplo, la masa del protón. Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del protón dependen de algún número$m_P$que se mide experimentalmente para ser aproximadamente$1.6726219 × 10^{-27}$kg.

No tenemos idea si este número es especial. Así que no hay más razón para creer que las leyes actuales son consistentes que para creer que las leyes con$m_P= 2.6726219 × 10^{-27}$kg son consistentes. El segundo conjunto de leyes describe un universo con un protón más pesado.

Como siempre, un universo con un protón más pesado probablemente esté lleno de energía suelta y no tenga ningún interés.