El espacio propio es un irrep del grupo de simetría.

Uno de los problemas con el estilo casual informal de Ref. 1 es que es difícil extraer enunciados precisos. Árbitro. 1 hace varias declaraciones imprecisas o incluso incorrectas porque faltan contexto y suposiciones en el párrafo pertinente.

1. Supongamos por simplicidad que el espacio de Hilbert$V$del sistema es de dimensión finita, y dejo al lector generalizar a espacios de Hilbert de dimensión infinita.

2. Dejar$H\in{\rm End}(V)$ser un operador lineal diagonalizable en$V$.

3. Dejar

   $$V_{\lambda}~:=~{\rm ker} (H-\lambda {\bf 1}_V)~\subseteq~V$$ ser un espacio propio para$H$; dónde$\lambda\in \mathbb{C}$.

4. Dejar

   $$G~:=~GL(V)\cap \underbrace{{\rm span}(H)^{\prime}}_{\text{commutant}} ~\subseteq~ {\rm End}(V)$$ Sea el conjunto de operadores invertibles que conmutan con$H$.

5. Entonces es fácil comprobar que$G$es un grupo y eso$V_{\lambda}$es una representación de$G$(o de cualquiera de sus subgrupos). OP tiene razón en eso$V_{\lambda}$no necesita ser una representación irreducible .

Referencias:

1. A. Zee, Teoría de grupos en pocas palabras para físicos, 2016, p. 163-164.

Un espacio propio del hamiltoniano no es solo un representante del grupo de simetría G, sino también un espacio propio compartido para un conjunto completo de observables/generadores de simetría$\Omega$.

Supongamos que algún espacio propio del hamiltoniano no es irrep de$G$, pero una suma directa de dos irreps distintos$A$y$B$. Si$\Pi_A$y$\Pi_B$son proyectores subespaciales correspondientes, siempre es posible definir un observable$O = \lambda_A \Pi_A + \lambda_B \Pi_B$cuyos valores propios distinguen entre$A$y$B$, y que necesariamente conmuta con el hamiltoniano, con el conjunto completo$\Omega$, y con todas las transformaciones en$G$. Pero entonces$\Omega$solo ya no es un conjunto completo de observables/generadores de simetría. El juego completo ahora debe incluir$O$y el espacio propio original se divide en distintos espacios propios A y B, cada uno irrep del grupo de simetría aumentada, etc.