Elementos fuera de la diagonal de la matriz de densidad, ¿medida de coherencia?

Cuando se trata de la decoherencia, a menudo se dice que los elementos fuera de la diagonal de la matriz de densidad son los responsables de la coherencia. Se desvanecen si no hay coherencia. Pasé mucho tiempo tratando de entender esto, y todavía no estoy seguro si mi explicación es correcta. Vamos a ver:

Imagina que pudiéramos clonar un conjunto descrito por$\rho$antes de tomar medidas en él. Esta técnica mágica nos permitiría obtener probabilidades para los resultados de las mediciones sin destruir el conjunto original. En la primera ejecución, determinaríamos la probabilidad de$|\psi_0\rangle$y$|\psi_1\rangle$que debería ser$\langle \psi_0 | \rho | \psi_0 \rangle$y$\langle\psi_1|\rho|\psi_1\rangle$respectivamente. Para los siguientes experimentos cambiamos el dispositivo de medición para medir otro observable. Supongamos que el conjunto de vectores propios ortonormales de este segundo observable contiene un elemento de la forma

$$|\sigma\rangle := \alpha |\psi_0\rangle + \beta|\psi_1\rangle.$$ Si no hay coherencia en el conjunto, esperaríamos que la probabilidad de $|\sigma\rangle$siendo $$|\alpha|^2 \langle\psi_0|\rho|\psi_0\rangle + |\beta|^2 \langle \psi_1 | \rho| \psi_1 \rangle.$$ Pero si nuestros experimentos muestran una probabilidad diferente, uno probablemente diría: "bazinga, hay algún misterio cuántico (también conocido como coherencia)". La teoría cuántica dice que la probabilidad de $|\sigma\rangle$es $$\langle \sigma |\rho |\sigma \rangle = |\alpha|^2 \langle\psi_0|\rho|\psi_0\rangle + |\beta|^2 \langle \psi_1 | \rho| \psi_1 \rangle + 2\Re\big( \alpha^*\beta \langle \psi_0|\rho|\psi_1\rangle\big),$$ que difiere de lo anterior si y solo si el elemento fuera de la diagonal $\langle\psi_0|\rho|\psi_1\rangle$no desaparece Resumiendo, vemos decoherencia si la matriz de densidad tiene elementos fuera de la diagonal que no desaparecen.

Hay otro punto que me gustaría mencionar en este contexto. Digamos que nuestra matriz de densidad tiene todos los elementos que desaparecen fuera de la diagonal. ¿Significa esto que no hay coherencia en el conjunto? Creo que la respuesta correcta a esta pregunta es "no, pero...". Miremos más de cerca. Para una matriz de densidad

$$\rho = \sum_k p_k |\varphi_k\rangle\langle\varphi_k|,$$ dónde $p_k$es la probabilidad de que un sistema se encuentre en el estado $|\varphi_k\rangle$, la desaparición de elementos fuera de la diagonal solo significa que $$0 = \sum_k p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle,$$ es decir, los elementos $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$ suma hasta cero. Para decir con seguridad que no hay coherencia, necesitamos todos los elementos $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$siendo cero, pero esto no es lo que se sigue de la desaparición de elementos fuera de la diagonal. El punto clave es que no tenemos posibilidad de distinguir entre diferentes conjuntos que están descritos por la misma matriz de densidad. Entonces, para nuestros experimentos, un conjunto donde todos $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$ suma hasta cero se comporta exactamente como un conjunto donde todos $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$desaparecer, es decir, un ejemplo sin estados coherentes. Resumiendo, podemos decir que un conjunto descrito por una matriz de densidad con elementos que desaparecen fuera de la diagonal se comporta como si no hubiera estados coherentes. Todavía puede haber estados coherentes en nuestro conjunto, pero no tenemos posibilidad de detectarlos.

Estás en lo correcto. Las diagonales fuera representan la coherencia entre las dos posibilidades.

Efectivamente se puede medir. Considere medir en el +/- bais. IE actuando en su matriz de densidad con el operador$|+\rangle \langle+|$dónde:

$|+\rangle = (|0\rangle + |1\rangle) / \sqrt2$.

El valor esperado de este operador viene dado por Tr($\rho |+\rangle \langle+|$).

Poniendo esto en tu ejemplo, notas que el resultado de la medición oscila con el tiempo, con una frecuencia igual a la diferencia de energía. Si, en cambio, tuviera la matriz de densidad sin diagonales, esta cantidad sería "plana" (sin cambio en el tiempo, valor 1/2).

Su Qubit podría estar en el estado$|0\rangle$, en cuyo caso el operador anterior tiene un valor esperado de 1/2. Si estuviera en el estado$|1\rangle$nuevamente el valor es 1/2. Si tuviéramos una máquina que lanzara una moneda y hiciera$|0\rangle$o$|1\rangle$entonces la matriz de densidad emitida por la máquina es suya pero sin diagonales fuera de ella, y en este caso el resultado esperado de la medición es nuevamente 1/2.

Pero su estado no es una elección aleatoria de las dos opciones de esa manera, es una superposición cuántica, por lo que las probabilidades de los dos casos posibles no se suman de la manera normal, que es de lo que siguen las diagonales.