¿Cómo encontramos la matriz de densidad de conjunto canónico para dos espines?

Un sistema compuesto se construye mediante dos espines acoplados, y el hamiltoniano es

H ^ = − j σ ^ 1 · σ ^ 2 − m B ( σ ^ 1 z + σ ^ 2 z ) B .

Entonces, ¿cómo podemos obtener la matriz de densidad del conjunto canónico, es decir, ρ ^ = Z − 1 Exp ⁡ ( − β H ^ ) ? ¿Alguien puede darme algunos consejos o referencias?

mi D I T : q tu mi s t i o norte t w o
Suponga que el primer giro representa el sistema mientras que el otro representa el entorno. Sus hamiltonianos son H ^ 1 = − m B σ ^ 1 z B y H ^ 2 = − m B σ ^ 2 z B . Entonces H ^ 12 = − j σ ^ 1 · σ ^ 2 representa la interacción entre sistema y env. Mi pregunta es ¿cuál es la matriz de densidad reducida del primer giro?

La exponencial de un operador se calcula más fácilmente en una base propia. Deberías poder encontrar uno aquí...

Respuestas (1)

Hay cuatro kets estatales | ↑ 1 ↑ 2 ⟩ , | ↑ 1 ↓ 2 ⟩ , | ↓ 1 ↑ 2 ⟩ , | ↓ 1 ↓ 2 ⟩ representando cuatro configuraciones posibles de los dos espines, los vectores propios del hamiltoniano son la combinación lineal de ellos. Habrá cuatro vectores propios y cuatro energías propias.

También puede obtener la energía propia de forma matricial. Simplemente escriba la forma matricial del hamiltoniano, tenga en cuenta que σ 1 ⋅ σ 2 = σ 1 X σ 2 X + σ 1 y σ 2 y + σ 1 z σ 2 z debe entenderse como el producto directo de la matriz. Similarmente, m B σ 1 z debe entenderse como σ 1 z ⊗ I 2 .

Una vez que obtenga el valor propio, su forma matricial de ρ ^ es una matriz diagonal [ mi − β mi 1 / Z , mi − β mi 2 / Z , mi − β mi 3 / Z , mi − β mi 4 / Z ]

Con respecto a tu segunda pregunta Una vez que obtuviste el valor propio mi 1 , mi 2 , ⋯ y vector propio correspondiente | 1 ⟩ , | 2 ⟩ ⋯ , su operador de matriz de densidad se escribe como ρ ^ = mi − β mi 1 / Z | 1 ⟩ ⟨ 1 | + mi − β mi 2 / Z | 2 ⟩ ⟨ 2 | + ⋯

Expandir | 1 ⟩ , | 2 ⟩ ⋯ usando los cuatro vectores | ↑ 1 ↑ 2 ⟩ , | ↑ 1 ↓ 2 ⟩ , | ↓ 1 ↑ 2 ⟩ , | ↓ 1 ↓ 2 ⟩ , puedes reescribir tu matriz de densidad ρ ^ . La matriz de densidad reducida ρ ^ r = T r 2 ( ρ ^ ) = ⟨ ↑ 2 | ρ ^ | ↑ 2 ⟩ + ⟨ ↓ 2 | ρ ^ | ↓ 2 ⟩

Sí, y encontré la respuesta por medio de Mathematica. Gracias por tus consejos. Mejor deseo ~
Además, si ponemos H 1 = m B σ ^ 1 z B , Entonces, ¿cómo podemos encontrar la matriz de densidad reducida de la partícula de espín 1?
@ Roger209 Comente más sobre su pregunta, ¿para qué se usa H1?
Hola, he hecho algunas explicaciones a mi pregunta anterior. TK.
@ Roger209 Consulte mi respuesta editada, nunca he calculado la matriz de densidad reducida, espero que sea correcto.
¿Cómo encontramos la matriz de densidad de conjunto canónico para dos espines?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v