¿Entropía del subsistema maximizada?

Question

¿Entropía del subsistema maximizada?

látigo cuántico

Dejar $A$ y $B$ ser 2 subsistemas de un sistema mecánico cuántico, por lo que un estado de todo el sistema es un vector en $A \otimes B$ . Según tengo entendido, un operador de densidad $\rho$ en general, no se puede escribir como un producto tensorial de los operadores de densidad de sus subsistemas. Si $\rho_A$ y $\rho_B$ son los operadores de densidad de dos sistemas independientes, entonces puedes escribir:

ρ = ρ_{A} \otimes ρ_{B} .

$\rho = \rho_A \otimes \rho_B.$ De lo contrario (los dos sistemas están entrelazados), para obtener una expresión que contenga la misma información que

ρ_{A}

$\rho_A$ , tendrías que tomar el rastro parcial del operador sobre el subespacio

B

$B$ :

{\tilde{ρ}}_{A} = {t r}_{B} ρ .

$\tilde{\rho}_A = \mathrm{tr}_B \rho.$

Ahora sabemos que en equilibrio termodinámico, la entropía de von Neumann del sistema (de $\rho$ ) está en su máximo. ¿Podemos deducir de ello que la entropía de von Neumann de la matriz de densidad reducida $\tilde{\rho}_A$ también está en su máximo?

En caso de no enredarse,

S [ρ_{A} \otimes ρ_{B}] = S [ρ] = S [ρ_{A}] + S [ρ_{B}]

$S[\rho_A \otimes \rho_B] = S[ \rho] = S[\rho_A] + S[\rho_B]$ se cumple, y dado que todas las expresiones son mayores que cero, se podría argumentar que para

S [ρ]

$S[\rho]$ para mí maximizado, también se necesita maximizar

S [ρ_{A}]

$S[\rho_A]$ y

S [ρ_{B}]

$S[\rho_B]$ . Esto ya no funciona para un sistema entrelazado, porque aquí no tenemos aditividad de la entropía, sino solo subaditividad para

{\tilde{ρ}}_{A} = {t r}_{B} ρ

$\tilde{\rho}_A = \mathrm{tr}_B \rho$ y

{\tilde{ρ}}_{B} = {t r}_{A} ρ

$\tilde{\rho}_B = \mathrm{tr}_A \rho$ . Es

S [{t r}_{B} ρ]

$S[\mathrm{tr}_B \rho]$ todavía maximizado?

Editar: Para dar una razón, por qué estoy preguntando esto. La pregunta en la que estaba pensando originalmente era: si un sistema cuántico está en equilibrio termodinámico, ¿los subsistemas también están en equilibrio termodinámico? Mi respuesta ingenua a eso es "Sí, deberían serlo", pero no estoy seguro de eso, y no puedo dar una razón adecuada, por qué deberían serlo.

Valerio

Lo que le interesa se conoce como entropía de entrelazamiento .

látigo cuántico

Bueno, sí, especialmente en el comportamiento de la entropía de entrelazamiento para el equilibrio termodinámico.

Norberto Schuch

¿A qué te refieres con "equilibrio termodinámico"? ¿Un sistema aislado en equilibrio, en cuyo caso se encuentra en un estado de máxima entropía (en cuyo caso trivialmente todos los subsistemas también están en un estado de máxima entropía), o un sistema acoplado a un baño termal en equilibrio?

látigo cuántico

¿Qué quiere decir "en cuyo caso, trivialmente, todos los subsistemas también están en un estado de máxima entropía"? ¿Por qué es esto trivial? Este es el núcleo de mi pregunta. Si esto es trivial, entonces es trivial, que

S [{t r}_{B} ρ]

$S[\mathrm{tr}_B \rho]$ se maximiza cuando

S [ρ]

$S[\rho]$ se maximiza. Sé que podría tratar los subsistemas como conjuntos canónicos y todo el sistema como un sistema microcanical, y por eso, la respuesta a mi pregunta DEBERÍA ser "Sí, por supuesto". ¿Pero es?

Norberto Schuch

Bueno, el estado de máxima entropía es el estado de máxima mezcla.

ρ \propto 1 1

$\rho\propto 1\!\!1$ , que claramente es un estado de producto, y tiene marginales máximamente mixtos. Si desea el estado de mezcla máxima con cierta energía, primero debe ser más específico sobre el hamiltoniano. PD: utilice @NorbertSchuch en sus respuestas; de lo contrario, no recibiré notificaciones de sus respuestas.

Respuestas (1)

¿Entropía del subsistema maximizada?

Lo que le interesa se conoce como entropía de entrelazamiento .
Bueno, sí, especialmente en el comportamiento de la entropía de entrelazamiento para el equilibrio termodinámico.
¿A qué te refieres con "equilibrio termodinámico"? ¿Un sistema aislado en equilibrio, en cuyo caso se encuentra en un estado de máxima entropía (en cuyo caso trivialmente todos los subsistemas también están en un estado de máxima entropía), o un sistema acoplado a un baño termal en equilibrio?
¿Qué quiere decir "en cuyo caso, trivialmente, todos los subsistemas también están en un estado de máxima entropía"? ¿Por qué es esto trivial? Este es el núcleo de mi pregunta. Si esto es trivial, entonces es trivial, que $S[\mathrm{tr}_B \rho]$ se maximiza cuando $S[\rho]$ se maximiza. Sé que podría tratar los subsistemas como conjuntos canónicos y todo el sistema como un sistema microcanical, y por eso, la respuesta a mi pregunta DEBERÍA ser "Sí, por supuesto". ¿Pero es?
Bueno, el estado de máxima entropía es el estado de máxima mezcla. $\rho\propto 1\!\!1$ , que claramente es un estado de producto, y tiene marginales máximamente mixtos. Si desea el estado de mezcla máxima con cierta energía, primero debe ser más específico sobre el hamiltoniano. PD: utilice @NorbertSchuch en sus respuestas; de lo contrario, no recibiré notificaciones de sus respuestas.

udv · Answer 1

Suponiendo que está considerando subsistemas que no interactúan, tomemos dos de ellos, $S_1$ y $S_2$ , a la energía total dada $E = E_1 + E_2$ , y buscar un estado de máxima entropía.

Como ya notó, la subaditividad de la entropía en presencia de entrelazamiento, $S ≤ S_1 + S_2$ , descarta estados entrelazados, y significa que la entropía necesariamente alcanza su máximo en el conjunto de estados no entrelazados compatibles con el dado $E$ .

Ahora clasifique el último conjunto de acuerdo con la energía de un subsistema, digamos $E_1 = \epsilon$ . Para cada $E_1 = \epsilon$ , el estado de máxima entropía será el producto directo $\rho_1^0(\epsilon) \otimes \rho_2^0(E- \epsilon)$ de estados del subsistema de máxima entropía $\rho_1^0(\epsilon)$ , $\rho_2^0(E- \epsilon)$ correspondiente a las energías $\epsilon$ , $E-\epsilon$ . La entropía total es $S^0(\epsilon) = S_1^0(\epsilon)+S_2^0(E-\epsilon)$ , y el problema se reduce a maximizar $S^0(\epsilon)$ . Es decir, necesitamos $\epsilon$ tal que

\frac{d S^{0}}{d ϵ} = \frac{d S_{1}^{0}}{d ϵ} (ϵ) - \frac{d S_{2}^{0}}{d ϵ} (mi - ϵ) = 0

$\frac{dS^0}{d\epsilon} = \frac{dS_1^0}{d\epsilon}(\epsilon) - \frac{dS_2^0}{d\epsilon}(E- \epsilon) = 0$ A partir de aquí, un argumento estándar produce que el valor deseado de

ϵ

$\epsilon$ es aquello por lo que

S_{1}

$S_1$ y

S_{2}

$S_2$ están en equilibrio térmico mutuo (temperatura común) para la energía total

E

$E$ .

¿Significa esto que cada subsistema está en su propio estado de máxima entropía?

En relación con sus otros estados de energía idéntica $E_i$ , Sí. En todo el conjunto $\{\rho_i^0(E_i)\}_{E_i}$ compatible con dado $E$ , no _

La razón es que la entropía de los estados de equilibrio $\rho_i^0(E_i)$ aumenta con la energía $E_i$ , y así para cada subsistema la entropía $S_i^0(E_i)$ alcanza su máximo para el máximo $E_i$ . Pero cuando esto sucede el subsistema complementario tiene energía mínima. $E-E_i$ , por lo tanto la entropía mínima , qed.

La clave de la respuesta a mi pregunta sería la parte en la que dice que los subsistemas no se entrelazarán en el caso de máxima entropía, y que el operador de densidad es entonces un producto tensorial de los operadores de densidad de los subsistemas. ¿Porqué es eso? Usted dice que la subaditividad descarta los estados entrelazados. Esto me parece contrario a la intuición, hubiera esperado que los sistemas se enredaran cada vez más, a medida que aumenta la entropía.
@Quantumwhisp Perdón por la demora. La subaditividad básicamente dice que la entropía total de un estado bipartito $\rho_{12}$ es como máximo igual a la suma de las entropías de los estados "locales" $\rho_1 = Tr_2\rho_{12}$ , $\rho_2 = Tr_1\rho_{12}$ , o $S(\rho_{12}) ≤ S(\rho_1) + S(\rho_2)$ . La igualdad se da por $\rho_{12}=\rho_1\otimes\rho_2$ . En otras palabras, la entropía total alcanza un máximo en los estados de productos directos no entrelazados.
@Quantumwhisp Para formar una intuición, piense en términos de correlaciones: entropía máxima = "ausencia de correlaciones", mientras que enredo = "correlaciones (cuánticas) presentes". Por lo tanto, los estados entrelazados y correlacionados tienen una entropía más baja que los estados no entrelazados.
Obtengo la parte intuitiva, y también entiendo lo que quiere decir con la subaditividad descartando el entrelazamiento: Considere el operador de máxima entropía $\hat{\rho}_{max}$ . En una vecindad de ella, considere todos los $\hat{\rho}$ con los mismos estados locales $\hat{\rho}_1$ y $\hat{\rho}_2$ . Entonces $\hat{\rho}_{max}$ , de todos estos operadores, será el que tenga $\rho = \rho_1 \otimes \rho_2$ . Creo que estas matemáticas son importantes :)
Sí, lo es. Si está interesado en una prueba, consulte la Sec. 11.3.4, pág. 515-16, en Nielsen&Chuang, books.google.com/…

¿Entropía del subsistema maximizada?

látigo cuántico

Valerio

látigo cuántico

Norberto Schuch

látigo cuántico

Norberto Schuch

Respuestas (1)

udv

látigo cuántico

udv

udv

látigo cuántico

udv

látigo cuántico

Fórmula de Kubo para observables generales

Una aparente paradoja para la hipótesis de termalización del estado propio (ETH)

¿Son la incertidumbre y las correlaciones realmente lo mismo?

¿Cuál es el significado físico del operador de Lindblad?

Comprender el teorema HHH de Gibbs: ¿de dónde proviene el argumento "borroso" de Jaynes?

Ejemplos de operadores de densidad ρ=∑npn|ϕn⟩⟨ϕn|ρ=∑npn|ϕn⟩⟨ϕn|\rho=\sum\limits_n p_n|\phi_n\rangle\langle\phi_n| en el que los estados {|ϕn⟩}{|ϕn⟩}\{|\phi_n\rangle\} no son ortogonales

¿Es el universo determinista cuando se mira hacia atrás?

La definición de entropía en la mecánica cuántica

¿Por qué no es posible una temperatura absoluta de 0K0K0 K?

Aumento de entropía vs Conservación de la información (QM)