Aparentemente una paradoja en la hipótesis de termalización del estado propio (ETH)

En el campo de investigación de la localización de muchos cuerpos (MBL), la gente siempre habla de la hipótesis de termalización del estado propio (ETH). ETH afirma que para un sistema cuántico aislado , todos los estados propios de muchos cuerpos del hamiltoniano son térmicos, lo que significa que todos los subsistemas pueden implicar la termalización al final. ETH no siempre es cierto y su violación significa MBL para un sistema cuántico de muchos cuerpos que interactúa. Bueno, mi rompecabezas es el siguiente:

Para un sistema cuántico aislado A y un subsistema especificado por el espacio B ∈ A . Se supone el estado inicial de A es uno de los estados propios | ψ ( t = 0 ) ⟩ A de su hamiltoniano H . Por supuesto que es un estado puro. Tenga en cuenta el estado inicial | ψ ( t = 0 ) ⟩ B de B no es un estado puro a menos que | ψ ( t = 0 ) ⟩ A es el estado del producto directo de | ψ ( t = 0 ) ⟩ B y el estado de A / B , lo que significa que hay B se desenreda con el resto A / B . Desde B se elige arbitrariamente, estado inicial mixto de B es el caso más general y su estado no puede ser descrito por un solo estado sino por una matriz de densidad ρ B ( t = 0 ) .

Ahora deja que el sistema A evolucionar a lo largo del tiempo. Hay dos formas de comprobar ρ B en tiempo arbitrario t .

1) Puedo rastrear parcialmente ρ A por ρ B = tr A / B ρ A . Mientras ρ A = | ψ | ⟩ A ⟨ ψ | A no va a cambiar porque | ψ ⟩ A es el estado propio y no evolucionará bajo el operador de evolución temporal, por lo tanto ρ B no cambiará para siempre.

2) El estado mixto ρ B ( t = 0 ) evoluciona con el tiempo y puede termalizarse a la matriz de densidad de Gibbs ρ ~ B = 1 Z mi − β H dónde Z es su función de partición estadística. Esta es de hecho la declaración de ETH.

¿Qué hay de malo en los resultados paradójicos vistos desde dos perspectivas diferentes para la misma cosa?

Respuestas (3)

La forma más sencilla de resolver esta paradoja es exigir

ρ B ( t = 0 ) ≃ ρ ~ B = 1 Z mi − β H B .

Es decir, si parte de un estado propio , no necesita ninguna evolución temporal para alcanzar el equilibrio térmico, porque el propio estado propio ya está termalizado , y esta es la declaración de la hipótesis de termalización del estado propio (ETH). Esto es muy diferente de un sistema caótico clásico, en el que se necesita algo de tiempo para explorar el espacio de fases y alcanzar el equilibrio. Para un sistema caótico cuántico, el sistema puede servir como su propio baño de calor: aunque cada estado propio es un estado puro, la matriz de densidad reducida de un subsistema parece térmica.

Ya veo... el sistema Quantum Chaotic no necesita tiempo para termalizarse. Pero me pregunto qué tan general es este requisito que proporcionó aquí. ¿Significa que si ETH es válido, entonces se cumple este requisito?
Sí, este requisito es general para cualquier estado ETH, siempre que la región B sea pequeña en comparación con todo el sistema. Incluso puedes pensar ρ B = Z − 1 mi − β H B como una declaración equivalente de ETH.

A riesgo de ser demasiado obvio, permítanme señalar primero: cualquier estado que cambie con el tiempo no es un estado propio del hamiltoniano. Entonces, si está describiendo un sistema que está en equilibrio todo el tiempo, entonces puede suponer que el sistema A está en un estado propio del hamiltoniano de muchos cuerpos, pero para cualquier otra situación (¡incluyendo cualquier cosa en el mundo real!) debe estar en alguna superposición de estos estados.

Entonces, en la mayoría de los casos interesantes, su primera suposición es incorrecta. En particular, si comienza con un estado de equilibrio, luego saca el subsistema B localmente del equilibrio para observar cómo se relaja de nuevo a un nuevo equilibrio, cualquier perturbación que aplique necesariamente coloca al sistema total en una superposición de varios estados propios de muchos cuerpos. Luego se relaja a un nuevo equilibrio. Sin embargo, dado que el sistema está aislado, no se perdió energía y el sistema aún se encuentra en una superposición de estados propios. Por lo tanto, todavía debe estar evolucionando en el tiempo, pero la diferencia es que esta evolución ya no cambia ningún valor local para ρ B (o cualquier otro subsistema) y así el sistema aparece de nuevo localmente independiente del tiempo.

Entonces, el punto es este: en un sistema que satisface el ETH, todos los estados propios del hamiltoniano son térmicos, pero lo contrario no es cierto: hay muchos estados que no son estados propios del hamiltoniano pero que, sin embargo, siguen siendo estados térmicos. Creo que cuando se considera esto se resuelve la "paradoja".

Para más información, recomiendo la introducción a este trabajo .

Estoy leyendo su documento de recomendación. es lúcido

El estado inicial no necesita ser uno de los estados propios del hamiltoniano, podría ser una superposición. Por lo tanto, la evolución del tiempo lo cambiará. No creo que tu primera suposición sea correcta.

Esta es la respuesta correcta ya que la pregunta de los OP es el resultado de un malentendido de ETH. Strong ETH establece que cualquier estado puro del sistema evoluciona para que todos los subsistemas se vean térmicos. Un corolario trivial de esto es que cualquier solución estática a las ecuaciones de movimiento (léase estado propio) ya es térmica.
Aparentemente una paradoja en la hipótesis de termalización del estado propio (ETH)
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