El volumen de la hipérbola gira sobre el eje y

La forma en que configuró la integral parece ser correcta (exactamente de la misma manera que yo la configuraría), pero creo que la calculó un poco mal. Olvidaste que también tienes la parte inferior de la hipérbola. Por lo tanto, el volumen debe duplicarse.

$$V=2\cdot 2\pi\int_{1}^{3}x\sqrt{x^2-1}\,dx= \frac{4}{2}\pi\int_{1}^{3}\sqrt{x^2-1}\frac{d}{dx}(x^2-1)\,dx=\\ 2\pi\int_{0}^{8}\sqrt{u}\,du=2\pi\frac{2\sqrt{u^3}}{3}\bigg|_{0}^{8}= \frac{4}{3}\pi\left(\sqrt{8^3}-\sqrt{0}\right)=\frac{64\sqrt{2}\pi}{3}$$

Comprobación de Wolframio Alfa

Tu solución es correcta.

Método 2: Usando integrales dobles.

Es decir, al rotar el gráfico alrededor de la$y$-eje, podemos definir$y$como una función de dos variables$y(x,z)=\sqrt{x^2+z^2-1}$, para$y\ge 0$. A continuación, defina una región.

$$D=\{(x,z)\ |\ 1\le x^2+z^2 \le 9\}$$

Para obtener el volumen de la parte superior del cuerpo, evaluamos la integral

$$\iint\limits_D y(x,z)\ \text dx\ \text dz = \iint\limits_D \sqrt{x^2+z^2-1}\ \text dx\ \text dz$$

y para obtener el volumen total, simplemente multiplicamos esto por dos. La integral anterior se puede encontrar fácilmente usando coordenadas polares, y tenemos:

$$V = 2\int_0^{2\pi}\int_1^3 r\sqrt{r^2-1}\ \text dr\ \text d\theta$$

Método 3: El método de la lavadora.

Considere una arandela horizontal (anillo) con un espesor de$\text dy$, a una altura$y$desde el$x$-eje. Su radio interior es$r_1 = \sqrt{1+y^2}$y su radio exterior es$r_2 = 3$. El volumen de la lavadora es$\text dV = (r_2^2-r_1^2)\pi$. Para obtener el volumen total, integre los volúmenes de todas esas arandelas:

$$V=\int\limits_{-2\sqrt2}^{2\sqrt2} \pi(9-y^2-1)\ \text dy$$