Usando integración y coordenadas polares para encontrar el volumen de un toro

Question

Usando integración y coordenadas polares para encontrar el volumen de un toro

volumen
cálculo
integración
Matemáticas
coordenadas polares

Chong Waldo

¿Cómo encontraría el volumen del cuerpo formado al girar el círculo? $r = f(\theta) = \cos\theta$ sobre la linea $\theta = \frac{\pi}{2}$ ?

(Este es el círculo de radio $1$ centrado en $(0,1)$ que genera un toro)

¿Integro para encontrar el área del círculo y luego sustituyo ese valor en otra ecuación de integración para encontrar el volumen? Si es así, ¿cómo se haría esto?

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Usando integración y coordenadas polares para encontrar el volumen de un toro

5xum · Answer 1

Para cualquier conjunto $G\subseteq \mathbb R^n$ , el volumen de $G$ es simple

\int_{GRAMO} 1 d \vec{X} .

$\int_G 1 d\vec x.$

Esto significa que el volumen de su toro es

\int \int \int_{GRAMO} 1 d X d y d z .

$\int \int \int_G 1 dxdydz.$ Convirtiendo las coordenadas a una forma polar (

(x, y, z) \to (r, ϕ, z)

$(x,y,z)\to (r,\phi,z)$ ) le permitirá establecer los límites de

r, ϕ

$r, \phi$ y

z

$z$ mucho más fácilmente que si lo está haciendo en las coordenadas cartesianas, pero aún así, no se puede evitar una cierta cantidad de trabajo.

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Chong Waldo

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5xum

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