Resolviendo túneles cuánticos sin rotación de mecha

Question

Resolviendo túneles cuánticos sin rotación de mecha

Física
instantes
integral de trayectoria
rotación de mecha

Adán

Editar

Parece que no he escrito mi pregunta con la suficiente claridad, así que intentaré desarrollar más usando el ejemplo del efecto túnel cuántico. Como descargo de responsabilidad, quiero decir que mi pregunta no se trata de cómo realizar una rotación de Wick en la formulación de la integral de trayectoria.

Veamos la probabilidad de tunelización cuántica en la formulación de la integral de trayectoria. El potencial está dado por $V[x(t)]=(x(t)^2-1)^2$ , que tiene dos mínimos en $x=\pm x_m=\pm1$ . Dado que la partícula comienza en $t=-\infty$ en $x=-x_m$ , ¿cuál es la probabilidad de que sea en $x=x_m$ en $t=\infty$ . La amplitud de probabilidad viene dada por

k (X_{metro}, - X_{metro}, t) = ⟨ X_{metro} | {mi}^{- i \hat{H} t} | - X_{metro} ⟩

$K(x_m,-x_m,t)=\langle x_m|e^{-i \hat H t}|-x_m \rangle$

El truco habitual es girar la mecha $t\to-i\tau$ , calcule todo en tiempo imaginario utilizando una aproximación de punto de silla y al final del cálculo gire de nuevo al tiempo real. Entiendo cómo funciona. Ningún problema con eso.

Lo que quiero entender es

¿Cómo puedo hacer el cálculo sin usar la rotación de Wick?
¿Cómo se conecta esta solución con la formulación euclidiana?

En principio, deberíamos poder hacer el cálculo con la formulación de la integral de trayectoria en tiempo real

\int D X (t) {mi}^{i S [X (t)] / ℏ}

$\int Dx(t) e^{i S[x(t)]/\hbar}$

En la aproximación de la fase estacionaria buscamos un camino complejo $x(t)$ que minimiza la acción, y ampliar sobre este punto.

Elegir $m =1$ por simplicidad. La ecuación del movimiento es

\ddot{X} - 2 X + 2 X^{3} = 0

$\ddot x-2 x+2x^3=0$

que no tiene solución real, es decir, no tiene solución newtoniana (clásica). Pero hay una función compleja que lo resuelve: $x_s(t)=i \,\tan(t)$ . Un problema es que se comporta bastante mal. Si de todos modos acepto que esta es una solución correcta, debería poder calcular las fluctuaciones gaussianas, sumar todas las torceduras/antitorceduras, etc. y recuperar el resultado correcto (generalmente obtenido con la acción euclidiana y $\tau\to -it$ ). ¿Tengo razón?

Entonces mi pregunta es: ¿es posible hacer el cálculo de esa manera y, de ser así, cómo se relaciona con el truco de ir y venir en un tiempo imaginario?

Original

Tengo una pregunta sobre el significado matemático de la rotación de Wick en las integrales de trayectoria, ya que se usa para calcular, por ejemplo, la probabilidad de hacer un túnel a través de una barrera (usando instantones).

Soy consciente de que al calcular una integral ordinaria utilizando la aproximación de fase estacionaria

$\int dx e^{i S(x)/\hbar}$

con $x$ y $S$ real, uno debe mirar al mínimo de $S(z)$ en todo el plano complejo, que puede estar por ejemplo en el eje Imaginario.

En el caso de una integral de trayectoria, uno quiere calcular

$\int Dx(t) e^{i S[x(t)]/\hbar}$

y no hay razón a priori para que el "camino clásico" de $x_a(t_a)$ a $x_b(t_b)$ (es decir, que minimiza $S[x(t)]$ ) debe estar en el eje real. No tengo ningún problema con eso. Lo que realmente no entiendo es el significado de la rotación de Wick. $t\to -i\tau$ desde un punto de vista matemático (profano), porque no es como si la función $x(t)$ se toma como imaginario (digamos, $x(t)\to i x(t)$ ), pero es su variable lo que cambiamos !

En particular, si discretizo la integral de trayectoria (que es lo que se debe hacer para que tenga sentido), obtengo

$\int \prod_n d x_n e^{i S(\{x_n\})/\hbar}$ .

dónde $S(\{x_n\})=\Delta t\sum_n\Big\{ (\frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t})^2-V(x_n)\Big\}$

En este nivel, la rotación de Wick se aplica en el segmento de tiempo $\Delta t\to -i\Delta \tau$ y no parece ser un cambio significativo de variable en la integral

Entiendo que si empiezo con un operador de evolución $e^{-\tau \hat H/\hbar}$ Obtendré la ruta integral después de la rotación de Wick, pero parece ser un argumento complicado.

La pregunta es: ¿Es matemáticamente significativo hacer la rotación de Wick directamente al nivel de la integral de trayectoria, y especialmente cuando está discretizada?

eduardo hughes

Aquí hay una referencia para cualquiera que no esté familiarizado con el problema preciso.

usuario17116

El documento reciente podría ser útil: arxiv.org/abs/1312.1772

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/323456/2451 y enlaces allí.

Respuestas (3)

Resolviendo túneles cuánticos sin rotación de mecha

Aquí hay una referencia para cualquiera que no esté familiarizado con el problema preciso.
El documento reciente podría ser útil: arxiv.org/abs/1312.1772
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/323456/2451 y enlaces allí.

eduardo hughes · Answer 1

¡Creo que la integral de ruta es una completa pista falsa aquí! Intentaré convencerte de que la rotación de Wick produce una forma completamente equivalente de escribir el Lagrangiano en la teoría de campos clásica.

Considere una acción clásica

S [X] = \int L [X (t)] d t

$S[x] = \int L[x(t)] dt$

dónde $x:\mathbb{R} \to \mathcal{M}$ para alguna variedad objetivo $\mathcal{M}$ . El lagrangiano está dado esquemáticamente por

L [X (t)] = {({\frac{d X (s)}{d s} |}_{s = t})}^{2} - V (X (t))

$L[x(t)] = \left(\left.\frac{dx(s)}{ds}\right|_{s=t}\right)^2-V(x(t))$

dónde $V(x(t))$ es un polinomio en $x(t)$ que (críticamente) no implica derivados.

Ahora continua analíticamente $x$ a una función $\tilde{x}: \mathbb{C}\to\mathcal{M}$ definiendo $\tilde{x}(c) = x(|c|)$ lo cual es obviamente analítico. Reetiquetar $\tilde{x}$ como $x$ por simplicidad. Definir una nueva variable

τ = i t

$\tau = it$

dentro de la integral, y sustituir. ( Advertencia : hay sutilezas matemáticas sobre sustituciones complejas, que deben tratarse utilizando el lema de Jordan). Ignorando las sutilezas, la integral resultante es

S [X] = \int L [X (- i τ)] (- i) d τ

$S[x] = \int L[x(-i\tau)](-i)d\tau$

Ahora examinemos con más cuidado lo que sucede con el lagrangiano. Mirando el primer término tenemos

{({\frac{d X (s)}{d s} |}_{s = - i τ})}^{2}

$\left(\left.\frac{dx(s)}{ds}\right|_{s=-i\tau}\right)^2$

Cambie la variable de diferenciación a $u = is$ y este término se convierte en

{(i {\frac{d X (tu)}{d tu} |}_{tu = τ})}^{2}

$\left(i\left.\frac{dx(u)}{du}\right|_{u=\tau}\right)^2$

reetiquetado $u\to s$ vemos que el primer término tiene la misma forma que originalmente, pero con $t$ reemplazado por $\tau$ y un signo menos adicional, a saber.

- {({\frac{d X (s)}{d s} |}_{s = τ})}^{2}

$-\left(\left.\frac{dx(s)}{ds}\right|_{s=\tau}\right)^2$

Ahora vamos al término potencial. Esto es mucho más simple porque $x(-i\tau)=x(|-i\tau|)=x(\tau)$ por definición, el término potencial es simplemente

V (X (τ))

$V(x(\tau))$

que tiene exactamente la misma forma que originalmente. Ahora definimos un Lagrangiano Euclidiano

L_{mi} (X (τ)) = {({\frac{d X (s)}{d s} |}_{s = τ})}^{2} + V (X (τ))

$L_E(x(\tau)) = \left(\left.\frac{dx(s)}{ds}\right|_{s=\tau}\right)^2+V(x(\tau))$

Juntando todo encontramos

S [X] = i \int L_{mi} [X (τ)] d τ

$S[x] = i\int L_E[x(\tau)]d\tau$

Finalmente definiendo

S_{mi} [X] = \int L [X (t)] d t

$S_E[x] = \int L[x(t)]dt$

vemos que es matemáticamente equivalente calcular la integral de trayectoria como

\int D X Exp (i S [X]) o \int D X Exp (- S_{mi} [X])

$\int \mathcal{D}x\exp(iS[x]) \textrm{ or } \int \mathcal{D}x\exp(-S_E[x])$

Gracias por la respuesta, pero esa no es mi pregunta. Sé cómo rotar Wick formalmente una integral de trayectoria. Pero, por ejemplo, ¿cómo haría todo eso en la versión discreta de la integral? ¿Qué cambio de variable de $x_n$ puede hacer el trabajo?
@Adam: no es un cambio de variable en la integral de ruta, es un cambio de variable en la integral de acción. La acción en sí no depende de $t$ o $\tau$ entonces no tiene sentido buscar un cambio en la función $x$ que reproduce el cambio de variable de integración $t$ .
Sí, y ese es exactamente mi punto. Volviendo a mi problema, en el cálculo del efecto túnel cuántico se busca el mínimo de la acción $S$ , que no es una trayectoria clásica (newtoniana). Esto no es un problema en sí mismo, ya que el mínimo puede estar en cualquier parte del "plano de ruta complejo". Pero esto no parece permitir transformaciones como $t\to-i\tau$ que es exactamente lo que debe hacer para calcular la integral para la tunelización...
¿Podría indicarme un cálculo de tunelización de muestra para que pueda echarle un vistazo? Me temo que no sé lo suficiente sobre túneles para entender completamente tu punto. Sin embargo, me parece que estás mezclando el dominio y el codominio de la función. $x$ . La rotación de Wick produce una acción equivalente funcional de algún campo $x:\mathbb{R}\to\mathcal{M}$ . En otras palabras, no afecta a la variedad de destino. $\mathcal{M}$ . Si $\mathcal{M}$ se permite que sea complejo para su cálculo de tunelización, esto no se ve afectado por la reparametrización en el dominio de $x$ !
Está esbozado aquí physics.fsu.edu/Users/Dobrosavljevic/Phase%20Transitions/… Pero la cuestión es que las personas comienzan directamente con la acción euclidiana y continúan analíticamente en tiempo real al final. Por supuesto, es técnicamente conveniente y correcto, pero me gustaría usar un enfoque sencillo de este cálculo de campo medio (es decir, mirar directamente la solución en tiempo real), pero no es obvio que dará el mismo resultado.
Ciertamente hay algo mal en la parte inferior de la página 2 en ese documento, ya que hace un camino integral con medida $\mathcal{D}x(\tau)$ pero termina con $\chi$ en función de la variable ficticia $\tau$ . Tengo la sensación de que se supone que hay dos variables de "tiempo imaginario" $\tau$ y $\tau'$ dónde $\tau'$ se integra sobre y $\tau$ aparece en $\chi(\tau)$ y el factor de abajo de $x(\tau)$ solo. ¿Quizás esta es la fuente de su confusión?
No, ese no es el problema. Editaré la pregunta para que quede más clara.
Bien, ahora entiendo el problema. He editado la pregunta ligeramente para que quede aún más clara; Espero que no te importe. Lo pensaré y veré qué se me ocurre.

Frederic Brunner · Answer 2

Frederic Brunner

La utilidad de la rotación de Wick radica en las propiedades de convergencia de la integral de trayectoria. Si observa el integrando de la integral de trayectoria en el espacio de Minkowski,

\int D ϕ {mi}^{i S_{METRO}},

$\int\mathcal{D}\phi\;e^{iS_M},$

se puede ver que es una función oscilante. En general, la integral de una función oscilante puede considerarse problemática. La rotación de la mecha, que es equivalente a un cambio de Minkowski al espacio euclidiano, cambia esta expresión a

\int D ϕ {mi}^{- S_{mi}} .

$\int\mathcal{D}\phi\;e^{-S_{E}}.$

El integrando ahora es una función amortiguadora exponencial, que se comporta bien en comparación con la original. Esto permite hacer muchos cálculos que de otro modo serían difíciles de hacer. Además, es notable que si se identifica este nuevo "tiempo euclidiano" con la temperatura inversa, la integral de trayectoria corresponde a la función de partición de la física estadística.

Adán

Gracias, pero esa no es la cuestión (ya sé todo eso). Mi pregunta es sobre la validez/significado de la rotación de Wick a nivel de la ruta integral, especialmente cuando está discretizada.

Trimok

@Adam: Todo el cálculo integral de trayectoria con exponencial imaginario es, estrictamente hablando, una tontería matemática, porque uno no puede probar la convergencia de tales integrales. Entonces, la forma más rigurosa es realizar una rotación de Wick en el tiempo y hacer cálculo integral de trayectoria (y discretización) con

\int D ϕ e^{- S_{E}}

$\int\mathcal{D}\phi\;e^{-S_{E}}$ , dónde

S_{E}

$S_E$ es la acción euclidiana

S_{E} = \int d t H (t)

$S_E = \int dt H(t)$ (

t

$t$ y

x

$x$ Son reales). Solo al final del cálculo, realiza una rotación inversa de Wick a tiempo.

Adán

@Trimok: lo entiendo. Pero ese no es el problema aquí, estoy haciendo matemáticas a la física. Mi pregunta es: cuando quiero encontrar el camino que minimiza la acción, para hacer la aproximación de fase estacionaria, necesito mirar un camino que esté rotado por Wick, porque es el camino dominante. No entiendo lo que significa para la versión discreta de la integral de ruta. Me parece que no hay forma de evaluarlo en el plano complejo (

S ({x_{n}}) \to S ({z_{n}}))

$S(\{x_n\})\to S(\{z_n\}))$ y encuentre un punto estacionario que se parezca a la acción rotada de Wick.

Trimok

@Adam: La acción euclidiana es

S_{E} = \int d t H (t) = \int d t (\frac{m {\dot{x}}^{2}}{2} + V (x))

$S_E = \int dt H(t) = \int dt (\frac{m \dot x^2}{2} +V(x))$ . Aquí

x

$x$ y

t

$t$ son reales _ Entonces, el único cambio en la discretización es el

+

$+$ firmar delante de

V (x)

$V(x)$ (en lugar del signo menos en la integral de trayectoria estándar), y el signo menos general delante de la acción euclidiana

\int D ϕ e^{- S_{E}}

$\int\mathcal{D}\phi\;e^{-S_{E}}$ (en lugar de

i

$i$ para integral de trayectoria estándar)

Adán

@Trimok: Creo que no estás recibiendo mi pregunta. Lo que sé es cómo obtener la acción euclidiana. Tal vez podamos olvidarnos de la rotación de Wick y la integral de trayectoria euclidiana. Lo que quiero entender cómo el "camino clásico" que minimiza la acción a veces puede estar dado por una función

q_{c} (i t)

$q_c(it)$ y no por

z_{c} (t)

$z_c(t)$ dónde

z_{c}

$z_c$ puede ser complejo, pero su índice

t

$t$ es real. Un camino clásico junto con variable.

i t

$it$ es equivalente a tener una integral de trayectoria discretizada donde la transformación es

x_{n} \to x_{i n}

$x_n\to x_{i n}$ lo cual no parece tener sentido.

Trimok

@Adam: una cosa son las integrales de ruta cuántica (estándar o euclidiana), otra cosa es la acción clásica. Creo que estás mezclando los dos conceptos. La acción clásica

S

$S$ , es una cantidad real y es un extremo (

δ S = 0

$\delta S=0$ ) para las ecuaciones clásicas de movimiento

x = x_{c} (t)

$x= x_c(t)$ , dónde

x

$x$ y

t

$t$ Son reales. no hay imaginario

t

$t$ aquí.

Adán

@Trimok: ¿sabe cómo se calcula el túnel cuántico con integrales de ruta? Entonces tal vez entenderías lo que quiero decir. Editaré mi pregunta para que quede más clara.

Trimok

@Adam: Instantons son una solución clásica de campos, para un mundo euclidiano. Es decir: se toma la acción euclidiana

S_{E}

$S_E$ (entonces, revirtiendo el potencial

V

$V$ ), y calcular

e^{- S_{E}}

$e^{-S_E}$ (si lo prefiere, es el término principal en

ℏ

$\hbar$ en la integral de trayectoria euclidiana cuando

ℏ \to 0

$\hbar \to 0$ ), y este cálculo es equivalente a una probabilidad de sintonización en mecánica cuántica.

Adán

Sí, lo sé. Pero se utilizan para calcular la probabilidad de hacer un túnel en tiempo real. Entonces deberíamos poder hacer el cálculo sin ir y venir en un tiempo imaginario.

usuario1504 · Answer 3

Otros ya han dado respuestas correctas, pero quizás pueda ayudar a aclarar su confusión centrándome en el caso más simple, donde su acción es libre y su discretización tiene un solo punto.

En este caso, la rotación de Wick equivale a definir la integral $\int_{\mathbb{R}} e^{iax^2} dx$ ser el limite $\lim_{\alpha \to -ia} F(\alpha)$ dónde $F(\alpha) = \int_{\mathbb{R}} e^{-\alpha x^2} dx$ .

Tenga en cuenta que no hay cambio de variable en la integral. En su lugar, tiene un parámetro libre. La integral está bien definida para valores reales de este parámetro, y usted define la integral en valores complejos a través de la continuación analítica.

Sí, me di cuenta de eso. Pero esta forma de hacer el cálculo para la tunelización (queremos calcular la probabilidad en tiempo real, por lo que continuamos analíticamente hasta el tiempo imaginario, hacemos el cálculo y luego continuamos de regreso al tiempo real) es bastante complicada. Podríamos intentar hacer el cálculo directamente en tiempo real, pero buscar "camino clásico" que no estén en el eje real, sino en cualquier parte del plano complejo. Y ahí es donde pierdo la conexión con la rotación de Wick...

Resolviendo túneles cuánticos sin rotación de mecha

Adán

eduardo hughes

usuario17116

qmecanico

Respuestas (3)

eduardo hughes

Adán

eduardo hughes

Adán

eduardo hughes

Adán

eduardo hughes

Adán

eduardo hughes

Frederic Brunner

Adán

Trimok

Adán

Trimok

Adán

Trimok

Adán

Trimok

Adán

usuario1504

Adán

El significado del tiempo imaginario

¿Cómo puedo entender el problema del efecto túnel mediante la integral de trayectoria euclidiana donde la fluctuación cuadrática tiene un valor propio negativo?

Amplitudes de transición por métodos funcionales en QFT

Instantones y Amplitudes No Perturbativas en Gravedad

Preguntas sobre el problema del gran instante

Derivada funcional para la misma función expresada antes y después de la rotación de Wick

Condiciones de contorno para la integral de trayectoria gravitatoria

Estabilidad al Vacío

¿Cómo se ven los instantones en tiempo real/espacio-tiempo?

Comprender los cálculos no perturbativos típicos en QFT [cerrado]