¿El secreto detrás de la peonza en forma de disco 2D, asimétricamente ponderada y giratoria?

Creo que la solución tiene más que ver con el efecto de la raqueta de tenis (ver: https://physics.stackexchange.com/a/17507/392 ).

Permítanme aclarar que el disco con orificio tiene dos ejes de rotación estables y uno inestable. El inestable está a través del agujero y el estable está al otro lado (abajo en verde) y normal al disco.

He confirmado que sin fricción (y de los videos en el enlace de arriba) cuando el disco gira sobre el eje inestable, se voltea periódicamente. Esto es lo que hizo que se volteara cuando el disco caía sin fricción.

La molestia adicional aquí es que una vez que está en la orientación "al revés" y la fricción está presente, el eje inestable se vuelve estable.

Si el agujero se extiende desde el centro hasta el borde del disco, entonces el centro de gravedad está en

$$\vec{c} = (0,-\frac{R}{6},0)$$ dónde $R$es el radio exterior del disco. Los principales momentos de inercia con respecto al centro de masa son $$\begin{aligned} I_{XX} & = m \left( \frac{\ell^2}{12} + \frac{29 R^2}{144} \right) \approx 0.2 m R^2 \\ I_{YY} & = m \left( \frac{\ell^2}{12} + \frac{5 R^2}{16} \right) \approx 0.31 m R^2 \\ I_{ZZ} & = m \left( \frac{37 R^2}{72} \right) \approx 0.51 m R^2 \end{aligned}$$

dónde$\ell$es el espesor del disco. Ya que$I_{YY}-I_{XX} = \frac{8}{37} I_{ZZ}$esto significa que la dirección y es el valor de inercia medio, x el mínimo y z el máximo. De ahí la inestabilidad sobre el eje y según el efecto raqueta de tenis .

Estoy trabajando para calificar la declaración anterior y voy a actualizar esta publicación con mis hallazgos.

I) Aquí daremos un análisis cualitativo más que cuantitativo. Considere primero el tippe top 3D axialmente simétrico, lo que significa que habrá dos ejes principales con un momento de inercia máximo. (Si lo deseamos, podemos, por simplicidad, modelar la parte superior como una bola esféricamente simétrica, con una masa puntual fuera del centro geométrico$O$.) Empíricamente , observamos en una primera aproximación que:

1. El vector angular$\vec{\omega}$es mayormente vertical y completa una pequeña precesión por cada revolución de la parte superior. (Supongamos que$\vec{\omega}$es hacia arriba en lugar de hacia abajo.)

2. La rotación de la parte superior es alrededor de un punto.$Q$en algún lugar entre el centro geométrico$O$y el centro de masa$C$.

3. El punto$P$de contacto completa una pequeña órbita circular por cada revolución del trompo.

4. La parte superior es mayormente rodante sin deslizarse. En otras palabras, en una primera aproximación, es fricción estática en lugar de fricción cinética y, por lo tanto, se conserva la energía mecánica.

El vector de momento angular$\vec{L}$apuntará principalmente hacia arriba pero inclinado un poco hacia el mismo lado (opuesto) que$C$si y si$O$está arriba (abajo)$C$. En otras palabras, el vector de momento angular$\vec{L}$completa una pequeña precesión por cada revolución de la parte superior. Supondremos que esta precesión de$\vec{L}$(y el par neto correspondiente necesario para esta precesión) permanece muy pequeño durante todo el proceso de inversión.

Ahora los momentos de torsión de la gravedad y la fuerza normal trabajan al unísono para aumentar la precesión de$\vec{L}$. La cancelación de este torque solo puede provenir de la fuerza de fricción que actúa en la misma dirección (hablando horizontalmente) que donde está el centro de masa.$C$es.$^1$

Naturalmente, debido a un movimiento de rodadura imperfecto, la fuerza de fricción tenderá a deslizar el punto de contacto en la dirección de la fuerza de fricción, elevando así el centro de masa.$C$. (Del Campo demostró que la fricción por deslizamiento debe desempeñar un papel esencial en el proceso de inversión, cf. Ref. 1. Por supuesto, la fricción por deslizamiento también es responsable de que la parte superior finalmente se detenga y pierda su energía mecánica).

II) Los discos 2D asimétricos$^2$funciona de manera similar, aunque ahora la rotación será principalmente alrededor del eje principal inestable con un momento de inercia intermedio, lo que lleva al efecto raqueta de tenis / Dzhanibekov , como lo señaló correctamente ja72 en su respuesta, consulte también, por ejemplo, esta publicación y enlaces de Phys.SE en esto. En situaciones sin fricción, la raqueta de tenis/efecto Dzhanibekov explica la última parte no resuelta del video de solución.

Referencias:

1. Richard J. Cohen, The tippe top revisited, http://dx.doi.org/10.1119/1.10926 (sombrero: Leonida)

--

$^1$Tenga en cuenta que el argumento del par de fricción en este video Basic Saucer Physics 101 parece conducir al efecto opuesto donde el centro de masa$C$se baja (en lugar de subir).

$^2$Los detalles geométricos de los discos 2D asimétricos son en gran medida irrelevantes para el efecto.