¿De dónde viene la simetría de isospín SU(2)SU(2)SU(2)?

La respuesta de DomDoe es la respuesta histórica, pero sospecho que mithusengupta123 realmente puede estar preguntando algo como:

Dada nuestra comprensión del modelo estándar de la física de partículas, ¿cómo es que la física de baja energía de los hadrones tiene una simetría isospín aproximada?

1. Isospin actuando sobre quarks

Históricamente, el isospín se propuso históricamente como una simetría entre protones y neutrones. Un nucleón es un campo.$N = (p, n)^T$eso es un doblete bajo SU(2) isospin. De manera equivalente, podemos definir isospin en los quarks ligeros, colocando arriba y abajo en un doblete de isospin,$q = (u, d)^T$.

Por adición de spin, un estado con dos quarks up y un quark down tiene isospin neto$I^3 = +1/2$, por lo que esto es consistente con que el protón sea un$+1/2$estado. De manera similar con el neutrón que tiene isospin$-1/2$.

2. Isospin no es exacto

Isospin no es una simetría exacta. Es una simetría aproximada. Se rompe por:

1. Las masas de los quarks. El quark up tiene una masa diferente a la del quark down. De manera similar, el protón tiene una masa diferente a la del neutrón.

2. También se rompe mi electromagnetismo. Los quarks arriba y abajo tienen diferente carga eléctrica. De manera similar, el protón está cargado mientras que el neutrón es neutro.

En este sentido, isospin no es una simetría. Es casi una simetría. ¿Qué entendemos por casi ? Queremos decir que hay un pequeño parámetro adimensional sobre el que podemos expandirnos. Cuando hablamos de física hadrónica de baja energía, este parámetro es algo así como$(m_u - m_d)/\Lambda_\text{QCD}$, dónde$\Lambda_\text{QCD}$es la escala de confinamiento (alternativamente, podría poner la masa del protón, que es aproximadamente del mismo orden de magnitud). El otro parámetro de expansión es$\alpha = 1/137$. Ambos parámetros de expansión están alrededor del nivel porcentual.

Esto significa que si tenemos un resultado que es cierto en el límite exacto de la simetría isospín, entonces el resultado real en la naturaleza es el mismo hasta las correcciones de nivel porcentual. Además, podemos usar técnicas como la teoría de perturbaciones para resolver estas correcciones orden por orden.

3. Isospin en la práctica

¿Cómo usamos isospin? Un ejemplo simple son los piones. Sabemos que los piones son estados ligados de dos quarks ligeros. Es decir, están en una representación isospin que proviene del producto de dos dobletes. (Hay una sutileza aquí porque es realmente un par quark-anti-quark, ver por ejemplo esta pregunta ).) Sabemos que la combinación de dos dobletes SU(2) da un triplete y un singlete.

Experimentalmente, podemos identificar el triplete y el singlete como los tres piones y el$\eta$, respectivamente. Los tres piones están relacionados entre sí por simetría de isospín, mientras que los$\eta$es su propio objeto. De hecho, el$\eta$es aproximadamente cuatro veces más pesado que los piones, que tienen aproximadamente la misma masa.

Por otro lado, los piones no tienen la misma masa exacta. Los piones cargados son de 140 MeV, mientras que el pión neutro es de 135 MeV. Esta pequeña corrección porcentual del límite exacto de isospín es precisamente el resultado de la división de masas de los quarks y la discriminación electromagnética entre los estados cargado y neutro.

4. ¿De dónde vino el isospin?

Ahora, al quid de la cuestión: si conocemos el modelo estándar, ¿cómo entendemos que a bajas energías existe una simetría isospín aproximada? ¿Cómo se relaciona esto con cualquiera de las otras simetrías del modelo estándar?

La respuesta es que la simetría isospín es el resultado de la ruptura de la simetría quiral.

Imagine escribir todas las partículas del modelo estándar sin ninguna interacción. Hay una simetría entre los quarks.$U(6)_L\times U(6)_R$, que rota los seis quarks levógiros por separado de los seis quarks levógiros. (Recuerde de la teoría de la representación que los campos quiral izquierdo y quiral derecho son, a priori, cosas completamente diferentes que pueden tener cargas diferentes). Esto es en realidad

Esta simetría se rompe por:

1. La fuerza electrodébil, que distingue entre quarks quirales izquierdos y derechos. Además, coloca los quarks de mano izquierda en dobletes y distingue entre los quarks de mano derecha con cargas de tipo arriba y abajo.

2. Las interacciones de Yukawa con el Higgs, que (al romperse la simetría electrodébil) da diferentes masas a las combinaciones vectoriales de quarks quirales izquierdo y derecho. Esto combina fermiones de Weyl en fermiones de Dirac.

Ignoremos la fuerza electrodébil: estos efectos vienen con acoplamientos electrodébiles que sabemos que son relativamente pequeños. Ciertamente a bajas energías cuando están mediados por un fotón ($\alpha = 1/137$) o un$W/Z$bosón (contribuciones suprimidas a bajas energías porque son pesadas).

Luego, los términos de masa emparejan fermiones quirales izquierdo y derecho. Estos términos de masa parecen$m_q \bar q_L q_R+\text{h.c.}$. Primero, supongamos que todos los quarks tienen la misma masa. Eso es,$m_q$es universal Entonces esto significa que nuestro original$U(6)_L\times U(6)_R$la simetría se rompe a$U(6)_D$, donde el$D$significa diagonal. Si rota entre los seis quarks levógiros, debe realizar una rotación compensatoria entre los seis quarks levógiros para que el término de masa permanezca invariable.

Una vez que enciende las diferentes masas de cada quark, entonces esto$U(6)_D$se rompe más a$U(1)^6$, que es básicamente el cambio de fase de cada tipo de quark.

Sabemos que hay una gran jerarquía en las masas de los quarks, por lo que, en su mayor parte, esto se descompone en$U(1)^6$la simetría es bastante rigurosa. Cada U(1) representa la conservación de lo alto, lo bajo, lo extraño, lo encantador, etc. (Sabemos que las interacciones de los$W$el bosón las viola, pero por ahora estamos ignorando las interacciones electrodébiles). Sin embargo, la división de masa entre el quark arriba y el abajo es relativamente modesta... así que, de hecho, el arriba y el abajo tienen una relación aproximada$SU(2)$sobra la simetría. (Estoy siendo descuidado con los factores U (1), puede volver a empaquetarlos en la conservación general del número bariónico y otras leyes de conservación). Esto$SU(2)$la simetría es precisamente isospín.

5. ¿Qué nos compra esto?

¿Por qué es esto útil desde el punto de vista fundamental?

Sabemos cómo lidiar con la ruptura espontánea de la simetría. En particular, sabemos que la ruptura del$SU(2)_L\times SU(2)_R$subgrupo de$U(6)_L\times U(6)_R$es una ruptura espontánea de una simetría aproximada. Así podemos describir las interacciones de los bosones de Goldstone de esta ruptura por el modelo sigma no lineal, hasta correcciones.

El poder de este punto de vista es que los piones se identifican con los bosones de Goldstone de$SU(2)_L\times SU(2)_R \to SU(2)_D$. Sus interacciones entre sí son predichas por el modelo sigma no lineal una vez que se define la escala en la que se rompe esta simetría. (Esta es la constante de decaimiento del pión, que está relacionada con la escala de ruptura de simetría quiral por el condensado quiral QCD).

Se puede extender esto y decir que el quark extraño también tiene una masa razonablemente cercana al arriba y al abajo. Entonces se puede hablar de un aproximado$SU(3)_L\times SU(3)_R \to SU(3)_D$rotura. En el límite donde las masas de los tres quarks ligeros degeneran, se pueden describir los bosones de Goldstone como un octeto de piones y kaones. Todas las interacciones entre estas partículas son predichas por el modelo sigma no lineal, hasta correcciones que ahora son un poco más grandes que en el caso de isospín SU(2) puro.

Isospin se introdujo antes de que se desarrollara el modelo de quarks. Dado que los quarks arriba y abajo tienen aproximadamente la misma masa y el mismo acoplamiento con la fuerza fuerte, esta simetría funciona bastante bien para los nucleones (protones$uud$, neutrón$udd$).$SU(2)$fue propuesto como una analogía al giro regular. Trata al protón y al neutrón como dos estados diferentes (girar hacia arriba, girar hacia abajo) de la misma partícula (de ahí la$SU(2)$).

Después de la introducción del modelo de quarks (donde ya se notó que hay quarks mucho más pesados ​​que up/down), todos los demás quarks recibieron un isospin$0$-carga para que sea únicamente una simetría de quarks arriba/abajo ($I_{3_{u/d}}=\pm \frac{1}{2}$).