El hamiltoniano se conserva, pero no es la energía mecánica total

Creo que este teorema podría ayudarte.

Asumir que$L=T-U$es lagrangiana del sistema.$T$es la energía cinética que se presenta como una forma cuadrática de$\dot{q}$:$T=\frac{1}{2}\sum a_{ij}\dot{q_i}\dot{q_j}$,$a_{ij}=a_{ji}(q,t)$;$U=U(q)$.

Teorema : bajo estos supuestos hamiltoniano$H$es la energía total del sistema$H=T+U$

Prueba del teorema : Usando el teorema de Euler en funciones homogéneas$\frac{\partial f}{\partial x}x=2f$. Entonces tenemos:$H=p\dot{q}-L=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}-(T-U)=2T-(T-U)=T+U$ $\blacksquare$

Entonces, si tiene un sistema con estas suposiciones, puede decir que hamiltoniano y la energía total son lo mismo.

Sé con certeza que si la energía potencial depende de la velocidad, la energía será diferente del hamiltoniano.

Puede obtener más información sobre esto en Métodos matemáticos de mecánica clásica de Arnold.

Es la energía externa que necesita el aro para girar. El hamiltoniano es una cantidad conservada ya que no depende del tiempo explícitamente, pero la energía mecánica (cinética más potencial) no se conserva.

Tenga en cuenta que:

$$E=K_1 + K_2 + U$$ dónde $K_2$es el término cinético que no depende de las velocidades $\dot \phi$, después $$L=K_1 + K_2 - U$$ y $$H=K_1 - K_2 + U$$ ya que $K_2$no depende de las velocidades y para el hamiltoniano es un término de potencial efectivo.

Creo que se debe al hecho de que sus ecuaciones de transformación entre$x_{\alpha ,i}$y$q_{j}$contienen explícitamente la hora.

$$x = Rsin(\phi )cos(\theta )=Rsin(\phi )cos(\omega t)$$ $$y = Rsin(\phi )sin(\theta )=Rsin(\phi )sin(\omega t)$$ $$z = Rcos(\phi )$$

Y, según el teorema mencionado por Oiale, su energía cinética no se presenta como una forma cuadrática de$\dot{q}$. Es por eso que su hamiltoniano (energía canónica) no es igual a la energía mecánica. Las condiciones suficientes de$H=E$es :

(1) La energía potencial es independiente de la velocidad.

(2) Las ecuaciones de transformación entre$x_{\alpha ,i}$y$q_{j}$no contienen explícitamente el tiempo

Por lo tanto, si reescribimos la transformación de coordenadas,

$$x = Rsin(\phi )cos(\theta )$$ $$y = Rsin(\phi )sin(\theta )$$ $$z = Rcos(\phi )$$

entonces, su energía mecánica, lagrangiana y hamiltoniana (energía canónica) será:

$$E =\frac{P_{\phi }^{2}}{2mR^{2}}+\frac{P_{\theta }^{2}}{2mR^{2}sin(\phi )^{2}}+mgRcos(\phi )$$ $$L=\frac{P_{\phi }^{2}}{2mR^{2}}+\frac{P_{\theta }^{2}}{2mR^{2}sin(\phi )^{2}}-mgRcos(\phi )$$ $$H =\frac{P_{\phi }^{2}}{2mR^{2}}+\frac{P_{\theta }^{2}}{2mR^{2}sin(\phi )^{2}}+mgRcos(\phi )$$

Obviamente,$H=E$.

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Lo siento, creo que cometí un error. Simplemente ignoré la ecuación de restricción,

$$f(\phi ,\theta ,t) = \theta -\omega t = 0$$ Por lo tanto, debería modificar mi hamiltoniano. $$H^{'}=H-\lambda f(\phi ,\theta ,t)$$

Consulte el tema "¿ Hamiltoniano de un lagrangiano con restricciones? " en SE.

Creo que el hamiltoniano no es necesariamente la energía por la siguiente razón: se puede demostrar que el lagrangiano se puede deducir del principio de D'alembert que está ligado al concepto de fuerza, etc. pero también se puede deducir del principio de Hamilton que es un concepto matemático puro aplicado a la física (una cierta cantidad tiene que ser un extremum cuando se integra sobre el camino verdadero). Por lo tanto, puede encontrar diferentes formas de Lagrangianos que dan las mismas ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Lagrange): ya sea construyendo un Lagrangiano$L=T-U$, o construyendo otro Lagrangiano que proporcione las mismas ecuaciones. Podría pensar que el último Lagrangiano da las ecuaciones de movimiento correctas, pero en realidad está equivocado: el principio de Hamilton le impide afirmar esto.

Ejemplo extraído de un libro de texto francés (C. Cohen Tannoudji):

Imaginemos dos osciladores armónicos 1D idénticos e independientes con coordenadas x e y.

Por el principio de D'Alembert, tienes

$L=T-U=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{1}{2}m\omega_0^2(x^2+y^2)$,

y las ecuaciones de los movimientos son

$\ddot{x}=-\omega_0^2x$

y

$\ddot{y}=-\omega_0^2y$.

Si usas este otro Lagrangiano$L'=m\dot{x}\dot{y}-m\omega_0xy$, encuentras exactamente las mismas ecuaciones.$L'$podría haberse deducido del principio de Hamilton.

Entonces, si decide escribir el hamiltoniano utilizando la transformación habitual de Legendre y la definición de cantidad de movimiento, demostrará fácilmente que los hamiltonianos también son diferentes.

En el caso mencionado a menudo donde se elige un marco en movimiento para definir las coordenadas, es normal que la energía sea diferente del caso donde el marco está en reposo. Quiero decir, encuentras el mismo resultado en la mecánica de Newton: una partícula de masa$m$y velocidad$v$tiene una energía$E=\frac{1}{2}mv^2$mientras que en su propio marco,$E=0$. Para mí, esta respuesta para el hamiltoniano es algo trivial.

La perla de OP se puede modelar de al menos 2 formas usando un marco inicial:

1. Como tener 1 DOF$\theta$. Este es el método de OP. El lagrangiano es$^1$

   $$\begin{align}L_1(\theta,\dot{\theta})~=~& \frac{1}{2}mR^2( \dot{\theta}^2+\omega^2\sin^2\theta) - V,\cr V~=~& - mgR\cos\theta,\end{align}\tag{1L}$$ la función de energía lagrangiana es $$\begin{align} h_1(\theta,\dot{\theta})~:=~&\dot{\theta}\frac{\partial L_1(\theta,\dot{\theta})}{\partial\dot{\theta}}- L_1(\theta,\dot{\theta}) \cr ~=~& \frac{1}{2}mR^2( \dot{\theta}^2\color{red}{-}\omega^2\sin^2\theta) + V,\end{align}\tag{1h}$$ y el hamiltoniano es $$H_1(\theta,p_{\theta})~=~\frac{p_{\theta}^2}{2mR^2}\color{red}{-}\frac{1}{2}mR^2\omega^2\sin^2\theta + V.\tag{1H}$$ el lagrangiano$L_1$no tiene una dependencia temporal explícita, por lo que la función de energía lagrangiana$h_1$y hamiltoniano$H_1$se conservan. Las 2 últimas funciones$h_1$y$H_1$tienen el mismo valor, pero diferente de la energía mecánica total$E$de la cuenta Como veremos, la cuestión es que la perla no es un sistema aislado.

2. Como tener 2 DOF$(\theta,\phi)$con 1 restricción holonómica dependiente del tiempo $\phi-\omega t\approx 0$. El lagrangiano es

   $$L_2~=~ \frac{1}{2}mR^2( \dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2\sin^2\theta ) - V+\lambda(\phi-\omega t),\tag{2L}$$ la función de energía lagrangiana es $$h_2~=~ \frac{1}{2}mR^2( \dot{\theta}^2\color{red}{+}\dot{\phi}^2\sin^2\theta ) + V-\lambda(\phi-\omega t),\tag{2h}$$ y el hamiltoniano es $$H_2~=~\frac{p_{\theta}^2}{2mR^2}\color{red}{+}\frac{p_{\phi}^2}{2mR^2\sin^2\theta} + V -\lambda(\phi-\omega t).\tag{2H}$$ Las 3 funciones$L_2$,$h_2$y$H_2$tienen una dependencia temporal explícita. La función de energía lagrangiana$h_2$y hamiltoniano$H_2$son iguales a la energía total$E$.

   El multiplicador de Lagrange$^2$

   $$\lambda~\approx~\dot{p}_{\phi}, \qquad p_{\phi}~=~mR^2\dot{\phi}\sin^2\theta,\tag{$\lambda$}$$ se puede determinar a partir de la EOM. Tiene una interpretación como una fuerza generalizada de restricción externa $Q_{\phi}=\lambda$actuando sobre la perla. Su potencia es igual a la tasa de ganancia de energía total de la perla. $$\frac{dh_2}{dt}~\approx~P~=~Q_{\phi}\dot{\phi}~=~\lambda\dot{\phi}~\approx~\frac{d(p_{\phi}\omega)}{dt}, \tag{P}$$ es decir, el aro está haciendo trabajo sobre la cuenta. En otras palabras, la diferencia $$h_1~\approx~h_2-p_{\phi}\omega \tag{h}$$ entre LHS y RHS de eq. (P) se conserva. Esto explica la observación de OP (4).

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$^1$el lagrangiano$L_1$es el mismo en el marco de referencia giratorio del aro: la única diferencia es que el segundo término cinético se reinterpreta como menos el potencial centrífugo.

NB: En esta respuesta usamos la notación física estándar para coordenadas esféricas , es decir$\theta$es el ángulo polar y$\phi$el ángulo acimutal.

$^2$los$\approx$símbolo significa igualdad módulo EOMs y restricciones.

$\uparrow$Cifra extraída de la Pregunta 3.57 en Chegg.com.