Funciones principales y características de Hamilton y separabilidad

I) Función característica de Hamilton$W(q,\alpha)$generalmente solo se define para sistemas sin dependencia temporal explícita, cf. referencias 1 y 2. Esto significa que el hamiltoniano$H(q,p)$es una constante de movimiento. La constante de movimiento suele ser la energía del sistema y, a menudo, se denota con la letra$E$. Árbitro. 1 usa en su lugar el símbolo$\alpha_1$, mientras que la ref. 2 usa la letra$h$.

II) Para sistemas sin dependencia temporal explícita, la ecuación de Hamilton-Jacobi (HJ) dice

$$\begin{align} -\frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial t} ~\stackrel{\text{HJ-eq.}}{=}&~ H\left(q,\frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial q}\right)\cr~=~& \alpha_1.\end{align}\tag{1}$$

Por lo tanto, uno puede ver la función característica de Hamilton$W(q,\alpha)$como un$\alpha_1 \leftrightarrow t$ Transformada de Legendre de la función principal de Hamilton$S(q,\alpha,t)$

$$\begin{align} W(q,\alpha)~=~&S(q,\alpha,t)+\alpha_1 t\cr ~\stackrel{(1)}{=}~& S(q,\alpha,t) - t\frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial t}.\end{align} \tag{2}$$

III) Lo anterior es una formulación en el caparazón. Hay una historia similar fuera de la cáscara. (Las palabras on-shell y off-shell se refieren a si los EOM se cumplen o no). Para mayor precisión, supongamos condiciones de frontera de Dirichlet

$$q(t_i)~=~q_i \quad\text{and}\quad q(t_f)~=~q_f \quad\text{fixed}.\tag{3}$$

Aunque OP parece plenamente consciente de esto, subrayemos que la función principal de Hamilton$S(q,\alpha,t)$no debe confundirse con el funcional de acción (fuera de la cáscara)

$$I[q; t_f,t_i]~:=~ \int_{t_i}^{t_f} L(q,\dot{q},t) ~\mathrm{d}t,\tag{4}$$

ni la función de acción en el caparazón (Dirichlet)$S(q_f, t_f; q_i, t_i)$. Para obtener más información sobre la relación y las diferencias entre$S(q,\alpha,t)$,$S(q_f, t_f; q_i, t_i)$, y$I[q; t_i,t_f]$, consulte, por ejemplo, mis respuestas Phys.SE aquí y aquí .

Hagamos hincapié para una comparación posterior que en el principio de acción estacionaria restringimos a caminos virtuales con tiempo inicial constante y fijo igual$t_i$. Del mismo modo para el tiempo final$t_f$.

IV) Análogamente, la función característica de Hamilton$W(q,\alpha)$no debe confundirse con el funcional de acción abreviado (fuera de la cáscara) $A[q, E]$, ni la función de acción abreviada en capa (Dirichlet)$W(q_f, q_i, E)$. El funcional de acción abreviado$A[q, E]$generalmente solo se define en el caso de que no haya una dependencia temporal explícita, cf. referencias 1 y 2. En este caso, la función de acción en el caparazón (Dirichlet)

$$S(q_f, q_i, T) ~=~S(q_f, t_f; q_i, t_i)\tag{5}$$

solo depende de la diferencia horaria$T:=t_f-t_i$. Uno puede mostrar que el

$$\frac{\partial S(q_f, q_i, T)}{\partial T}~=~-E.\tag{6}$$

Para una demostración de la ec. (6), vea, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

El funcional de acción abreviado (fuera de la cáscara)$A[q, E]$se puede definir como una energía$\leftrightarrow$tiempo transformación tipo Legendre

$$A[q; E, t_f, t_i] ~=~ I[q; t_f,t_i] + E (t_f-t_i) \tag{7}$$

del funcional de acción (fuera de la cáscara)$I[q; t_f,t_i]$.

En el principio de Maupertuis restringimos a caminos virtuales con energía constante y fija igual$E$pero con tiempos de punto final libres$t_i$y$t_f$. La fórmula (7) entonces se vuelve igual a

$$\begin{align} A[q; E, t_f, t_i]~=~& \int_{t_i}^{t_f} p\dot{q} ~\mathrm{d}t, \cr p~:=~&\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}.\end{align}\tag{8}$$

Como consecuencia, la acción abreviada en el caparazón (Dirichlet)

$$\begin{align} W(q_f, q_i, E) ~=~& S(q_f, q_i, T) + E T\cr ~\stackrel{(6)}{=}~& S(q_f, q_i, T) - T\frac{\partial S(q_f, q_i, T)}{\partial T}\end{align} \tag{9}$$

se convierte en el$E\leftrightarrow T$Transformada de Legendre de la función de acción en el caparazón (Dirichlet)$S(q_f, q_i, T)$.

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica.

2. L. Meirovitch, Métodos de Dinámica Analítica.