¿Cuándo el hamiltoniano de un sistema no es igual a su energía total?

En un sistema ideal, holonómico y monogénico (el habitual en la mecánica clásica), el hamiltoniano es igual a la energía total cuando y sólo cuando tanto la restricción como el lagrangiano son independientes del tiempo y el potencial generalizado está ausente.

Entonces, la condición para la energía de igualación hamiltoniana es bastante estricta. El ejemplo de Dan es uno en el que Lagrangian depende del tiempo. Un ejemplo más frecuente sería el hamiltoniano para partículas cargadas en campo electromagnético.

$$H=\frac{\left(\vec{P}-q\vec{A}\right)^2}{2m}+q\varphi$$ La primera parte es igual a la energía cinética ( $\vec{P}$es un momento canónico, no mecánico), pero la segunda parte NO ES necesariamente energía potencial, como en general $\varphi$se puede cambiar arbitrariamente con un indicador.

El hamiltoniano en general no es igual a la energía cuando las coordenadas dependen explícitamente del tiempo. Por ejemplo, podemos tomar el sistema de una cuenta de masa$m$confinado a un anillo circular de radio$R$. Si definimos la$0$para el ángulo$\theta$ser el fondo del ring, el Lagrangiano

$$L=\frac{mR^2\dot{\theta}^2}{2}-mgR(1-\cos{(\theta)}).$$ El impulso conjugado $$p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=mR^2\dot{\theta}.$$ y el hamiltoniano $$H=\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR^2}+mgR(1-\cos{\theta}),$$ que es igual a la energía.

Sin embargo , si definimos la$0$para que theta se mueva alrededor del anillo con una velocidad angular$\omega$, entonces el lagrangiano

$$L=\frac{mR^2(\dot{\theta}-\omega)^2}{2}-mgR(1-\cos{(\theta-\omega t)}).$$

El impulso conjugado

$$p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=mR^2\dot{\theta}-mR^2 \omega.$$

y el hamiltoniano

$$H=\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR^2}+p_{\theta}\omega+mgR(1-\cos(\theta-\omega t)),$$ que no es igual a la energía (en términos de$\dot{\theta}$Tiene una dependencia explícita de$\omega$).

Mecánica clásica de Goldstein (2ª ed.) pág. 349, sección 8.2 sobre coordenadas cíclicas y teoremas de conservación' tiene una buena discusión sobre esto. En sus palabras:

The identification of H as a constant of the motion and as the total energy 
are two separate matters.  The conditions sufficient for one are not 
enough for the other.  

Luego pasa a proporcionar un ejemplo de un sistema 1-d en el que elige dos sistemas de coordenadas generalizadas diferentes. Para la primera opción, H es la energía total mientras que para la segunda opción H termina siendo solo una cantidad conservada y NO la energía total del sistema.

Échale un vistazo. Es un muy buen ejemplo.

Un poco complicado pero interesante es el Lagrangiano del oscilador armónico amortiguado (Lagrangiano de Havas [1]):

$$L = \frac{2m\dot{x} +kx}{x\sqrt{4mK-k^2}}\tan^{-1}\left(\frac{2m\dot{x} + kx}{x\sqrt{4mK -k^2}} \right) -$$ $$- \frac{1}{2}\ln (m\dot{x}^2 + kx\dot{x} + Kx^2)$$

El lagrangiano es independiente del tiempo, por lo que se conserva el hamiltoniano de Havas correspondiente. Dado que la energía total del oscilador armónico amortiguado disminuye con el tiempo,$H$no puede ser energía total.

[1] Havas P., El rango de aplicación del formalismo de Lagrange - I, Nuovo Cim. 5 (suplemento), 363 (1957)

Páginas 60-64 Goldstein, Poole y Safko (3ra edición) entra en una muy buena derivación y descripción de la función de energía. En las notas al pie se afirma que esto es equivalente al hamiltoniano (simplemente no está en las coordenadas generalizadas correctas para el hamiltoniano). Si esta función se deriva de scleronomous (las ecuaciones de restricciones son independientes del tiempo) y no hay$\dot{q}$dependencia en la energía potencial, entonces puedes demostrar que h=T+V. Estas condiciones aseguran que T sea homogéneo de segundo grado según el Teorema de Euler, y esta es la condición que permite la transformación a T+V.

Todo esto se muestra muy bien en Goldstein.

El hamiltoniano de un sistema es equivalente a la energía total del sistema si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

Tenga en cuenta que el hamiltoniano es el$Legendre$ $Transformation$del$Lagrangian$, tenemos que considerar la estructura de la$Lagrangian$, para determinar la$Hamiltonian$de un sistema

$1.$El Lagrangiano:$L$, debe tener la forma,$L$= ($T$-$V$), y para tener esto, necesitamos considerar el$d'Alembert's Principle$, lo que da:

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}{(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}) - \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}q_i} = Q_j}{ ...... (\alpha)}$$

Donde esto$Q_j$es el componente de fuerza generalizado para el$j$-ésima coordenada generalizada, que son las fuerzas de la(s) restricción(es).

Claramente, por:

Las restricciones de movimiento son explícitamente dependientes del tiempo (la fuerza ejercida sobre el sistema puede tener una dependencia explícita del tiempo) es diferente, pero para propósitos muy generales, donde la(s) fuerza(s) que actúa(n) sobre el sistema pueden derivarse directamente de su respectivo potencial escalador, es decir por

campo de fuerza conservativo, podemos escribir,

$$Q_j = F_j = -\nabla_j (V)$$ , es decir, el potencial del escalador, y simplificando el$(\alpha)$, obtenemos$L = (T-V)$

$Note$ $that$: En los casos de presencia de potencial vectorial, como para el campo EM, hay otro caso de dependencia temporal explícita, cuando los campos dependen del tiempo, lo que constituye otro aspecto, es decir, para el potencial variable en el tiempo, no podemos escribir explícitamente el$Lagrangian$de esa manera Pero el$Hamiltonian$formado de esta manera, seguirá siendo la energía total del sistema.

Ahora, podemos concluir que, para la(s) restricción(es) dependiente(s) del tiempo de un movimiento, no podemos decir que$Hamiltonian$es equivalente a la$Total$ $Energy$del sistema.