¿Hamiltoniano de un Lagrangiano con restricciones?

Question

¿Hamiltoniano de un Lagrangiano con restricciones?

Física
mecanica clasica
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

Espaguetificación cuántica

Digamos que tengo el Lagrangiano:

L = T - V .

$L=T-V.$ Junto con la restricción de que

F \equiv F (\vec{q}, t) = 0.

$f\equiv f(\vec q,t)=0.$ Entonces podemos escribir:

L^{'} = T - V + λ F .

$L'=T-V+\lambda f.$ ¿Cuál es mi hamiltoniano ahora? Lo es

H^{'} = {\dot{q}}_{i} {pag}_{i} - L^{'} ?

$H'=\dot q_i p_i -L'~?$ ¿O algo diferente? He encontrado al menos un ejemplo en el que el uso de la fórmula anterior da una respuesta diferente a la encontrada por el hamiltoniano al disminuir los grados de libertad en uno en lugar de usar los multiplicadores de Lagrange.

Respuestas (2)

¿Hamiltoniano de un Lagrangiano con restricciones?

qmecanico · Answer 1

Comentarios a la pregunta (v2):

Para pasar del formalismo lagrangiano al hamiltoniano , se debe realizar una (posible singular) transformación de Legendre . Tradicionalmente esto se hace a través del recetario/libro de cocina de Dirac-Bergmann, véase, por ejemplo, Refs. 1-2. Nótese en particular que la restricción $f$ puede generar una restricción secundaria

gramo := {F, H^{'}}_{PAG B} + \frac{\partial F}{\partial t} \approx \frac{d F}{d t} \approx 0.

$g ~:=~ \{f,H^{\prime}\}_{PB} +\frac{\partial f}{\partial t}~\approx~\frac{d f}{d t}~\approx~0.$

[Aquí el $\approx$ símbolo significa igualdad módulo eqs. de movimiento o restricciones.]

Referencias:

PAM Dirac, Conferencias sobre QM, (1964).
M. Henneaux y C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1994.

imagen357 · Answer 2

El hamiltoniano se define por

H = \sum_{i = 1}^{norte} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\dot{q}}_{i}) - L

$H = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \dot q_i \right) - L$ Entonces en tu caso:

H^{'} = H - λ f

$H' = H - \lambda f$

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