¿El estado térmico en el espacio-tiempo de Rindler corresponde al vacío de Minkowski?

Question

¿El estado térmico en el espacio-tiempo de Rindler corresponde al vacío de Minkowski?

Física
efecto unruh
teoría cuántica de campos
qft-en-espacio-tiempo-curvo

nirmalya kajuri

Sabemos que el vacío de Minkowski corresponde al estado térmico en una cuña de Rindler a la temperatura de Unruh. Pero, ¿el estado térmico en una cuña de Rindler a la temperatura de Unruh corresponde únicamente al vacío de Minkowski? ¿O podría haber otros estados en la teoría del campo espacial de Minkowski que también correspondan al estado térmico en una de las cuñas? En otras palabras, si estoy haciendo teoría de campo en, digamos, la cuña izquierda de Rindler y se especifica que el estado es térmico a la temperatura de Unruh, ¿significa que el estado en la teoría del campo espacial de Minkowski es el vacío, o podría ser algo más? ?

Una clase de estados a los que se asignaría son los siguientes:

{tu}_{R} | 0 ⟩

$U_R|0\rangle$ dónde

U_{R}

$U_R$ denota un operador unitario en la cuña derecha de Rindler. Pero no está claro que correspondan a los buenos estados de Minkowski. ¿Hay otros estados en la teoría del campo espacial de Minkowski que, al escribir en la base de Rindler y trazar los grados de libertad de una cuña, darían como resultado el estado térmico?

Respuestas (2)

¿El estado térmico en el espacio-tiempo de Rindler corresponde al vacío de Minkowski?

Valter Moretti · Answer 1

La idea de OON se puede hacer más precisa para obtener un ejemplo de estado que es idéntico al vacío de Minkowski en la cuña izquierda de Rindler pero es diferente en la cuña derecha.

Es solo cuestión de una elección correcta del operador local en la idea de OON. La idea funciona solo con ciertos operadores locales: isometrías localizadas en la cuña derecha.

Tome una función realmente suave $g$ cuyo apoyo está incluido en la cuña derecha (abierta). Considere el operador unitario (aunque una isometría sería suficiente)

\begin{matrix} (1) & tu (gramo) := {mi}^{i ϕ (gramo)}, \end{matrix}

$U(g) := e^{i \phi(g)}\tag{1},$ donde supuse que el operador de campo

ϕ (g)

$\phi(g)$ es autoadjunto (es esencialmente autoadjunto por lo que en realidad

ϕ (g)

$\phi(g)$ en el exponente es la clausura del mismo). De las relaciones de conmutación de Weyl y el teorema de Stone ,

\begin{matrix} (2) & tu (gramo) ϕ (F) = ϕ (F) tu (gramo) \end{matrix}

$U(g) \phi(f) =\phi(f)U(g)\tag{2}$ si

f

$f$ y

g

$g$ tienen soportes espacialmente separados como sucede en particular si

f

$f$ tiene apoyo en la cuña izquierda.

Definir

Ω_{gramo} := {tu}_{gramo} Ω

$\Omega_g := U_g\Omega$ dónde

Ω

$\Omega$ es el vacío de Minkowski. Está claro que

Ω_{g}

$\Omega_g$ sigue siendo un vector unitario y es diferente de

Ω

$\Omega$ si

g \neq 0

$g\neq 0$ . Con respecto a las funciones de Wightman del nuevo estado, (2) implica que

⟨ Ω_{gramo} | ϕ (F_{1}) \dots ϕ (F_{norte}) Ω_{gramo} ⟩ = ⟨ Ω | {tu}_{gramo}^{*} ϕ (F_{1}) \dots ϕ (F_{norte}) {tu}_{gramo} Ω ⟩ = ⟨ Ω | ϕ (F_{1}) \dots ϕ (F_{norte}) {tu}_{gramo}^{*} {tu}_{gramo} Ω ⟩ = ⟨ Ω | ϕ (F_{1}) \dots ϕ (F_{norte}) Ω ⟩

$\langle \Omega_g| \phi(f_1)\cdots \phi(f_n)\Omega_g \rangle= \langle \Omega| U_g^*\phi(f_1)\cdots \phi(f_n)U_g\Omega \rangle = \langle \Omega| \phi(f_1)\cdots \phi(f_n)U_g^*U_g\Omega \rangle = \langle \Omega| \phi(f_1)\cdots \phi(f_n)\Omega \rangle$ si cada uno

f_{k}

$f_k$ tiene apoyo en la cuña izquierda. Allá

Ω

$\Omega$ y

Ω_{g}

$\Omega_g$ no son distinguibles. En particular

Ω_{g}

$\Omega_g$ tiene las mismas propiedades térmicas que

Ω

$\Omega$ con respecto al Killing boost (satisface la condición KMS por el teorema de Bisognano-Wickmann).

En la cuña derecha, $\Omega_g$ es un estado coherente en vista de su definición.

OON · Answer 2

OON

Por supuesto, hay un número infinito de estados con densidad reducida para que la cuña izquierda esté en estado térmico, mientras que el estado total no es el vacío de Minkowski. Para obtener esto último, la matriz de densidad reducida en el estado correcto también debe estar en el estado térmico Y también debe haber un entrelazamiento específico entre las cuñas.

Entre los buenos estados de Minkowski que puede considerar, por ejemplo

| ψ ⟩ = \int_{Ω_{R}} d^{4} X O (X) | 0 ⟩

$|\psi\rangle= \int_{\Omega_R} d^4x \mathcal{O}(x)|0\rangle$ dónde

O

$\mathcal{O}$ es un operador local y

Ω_{R}

$\Omega_R$ está restringida a la cuña derecha. Cualquier estado de este tipo tendrá el mismo estado térmico para la matriz de densidad reducida de la cuña izquierda.

Tenga en cuenta que la misma matriz de densidad reducida significa que los observables restringidos a la cuña izquierda no pueden distinguir esos estados.

El significado de todo esto es muy simple. Ninguna señal pasa de una cuña a otra. Por lo tanto, tener información solo sobre una cuña no es suficiente para reconstruir el estado del campo cuántico en todo el espacio-tiempo.

nirmalya kajuri

Gracias. Eso es lo que había pensado, pero ¿cómo se muestra explícitamente que la matriz de densidad reducida para ese estado es térmica?

nirmalya kajuri

La matriz de densidad reducida es

\sum_{{mi}^{"}}_{R} ⟨ mi " | ψ ⟩ ⟨ ψ | mi " ⟩_{R} = \sum_{mi ", {mi}^{'}, mi} {mi}^{- β (mi + {mi}^{'}) / 2)}_{R} ⟨ mi " | O (X) | mi ⟩_{R}_{R} ⟨ {mi}^{'} | O (X) | mi " ⟩_{R} | mi ⟩_{L}_{L} ⟨ mi |

$\sum_{E^{"} }\phantom{E} _R\langle E"|\psi\rangle \langle \psi| E"\rangle_R= \sum_{E",E',E} e^{-\beta (E+E')/2)}\phantom{E} _R\langle E"|\mathcal{O}(x)|E\rangle_R \phantom{E}_R \langle E'|O(x)|E"\rangle_R |E\rangle_L \phantom{E}_L \langle E|$ ¿Cómo procedo desde aquí?

nirmalya kajuri

Creo que lo entendí: tomando la descomposición espectral del operador

O (x)

$\mathcal{O}(x)$ y luego rastrear sus estados propios en lugar de los estados propios de energía. ¿Hay otras formas de mostrar esto?

Valter Moretti

No creo que tu respuesta sea correcta. Usted está diciendo en particular que

⟨ Ω | ϕ (f) ϕ (f) ϕ (g) ϕ (g) Ω ⟩ / ⟨ Ω | ϕ (g) ϕ (g) Ω ⟩ = ⟨ Ω | ϕ (f) ϕ (f) Ω ⟩

$\langle \Omega| \phi(f)\phi(f) \phi(g)\phi(g) \Omega \rangle/ \langle \Omega|\phi(g)\phi(g) \Omega \rangle = \langle \Omega| \phi(f)\phi(f) \Omega \rangle$ si

f

$f$ y

g

$g$ tienen soportes separados en forma de espacio.

f

$f$ apoyado en la cuña izquierda y

g

$g$ en la cuña derecha.

Ω

$\Omega$ es el vacío de Minkowski.

Valter Moretti

Bueno, el teorema de Wick prueba que el lado izquierdo de la identidad anterior es el lado derecho con el sumando adicional

⟨ Ω | ϕ (f) ϕ (g) Ω ⟩ / ⟨ Ω | ϕ (g) ϕ (g) Ω ⟩

$\langle \Omega| \phi(f)\phi(g) \Omega \rangle/ \langle \Omega|\phi(g)\phi(g) \Omega \rangle$ . Entonces, lo que debemos probar es que

⟨ Ω | ϕ (f) ϕ (g) Ω ⟩ = 0

$\langle \Omega| \phi(f)\phi(g) \Omega \rangle=0$

Valter Moretti

Puedes definir

f (x)

$f(x)$ como

g (x + r)

$g(x+r)$ para un espacio suficientemente grande

r

$r$ . En otras palabras, estás diciendo que esta función

r \mapsto ⟨ Ω | ϕ (f) U_{r} ϕ (f) Ω ⟩

$r \mapsto \langle \Omega| \phi(f)U_r\phi(f) \Omega \rangle$ desaparece si

r

$r$ es suficientemente grande. No estoy seguro (no tengo tiempo para calcularlo) pero creo que esa función es analítica... Entonces debería desaparecer en todas partes. No tiene sentido, ya que no puede desaparecer en

r = 0

$r=0$ . Tal vez me equivoque, pero no veo cómo puedes decir eso.

⟨ Ω | ϕ (f) ϕ (g) Ω ⟩ = 0

$\langle \Omega| \phi(f)\phi(g) \Omega \rangle=0$ si los soportes de las funciones están separados como espacios.

Valter Moretti

Espero que sea cierto en el límite de los soportes infinitamente distantes entre sí, pero no estoy seguro de que sea cierto si simplemente están separados como el espacio...

Valter Moretti

Sin referencia a funciones analíticas

⟨ Ω | ϕ (f) U_{r} ϕ (f) Ω ⟩

$\langle \Omega| \phi(f)U_r\phi(f) \Omega \rangle$ es algo como

\int_{R^{3}} | \hat{f} (\vec{k}) |^{2} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} d \vec{k} / k^{0}

$\int_{\mathbb R^3} |\hat{f}(\vec{k})|^2 e^{i\vec{k} \cdot \vec{r}} d\vec{k}/k^0$ . No desaparece también para grandes

\vec{r}

$\vec{r}$ , cuando los soportes de

f (x)

$f(x)$ y

f (x + \vec{r})

$f(x+ \vec{r})$ seguramente están separadas como en el espacio. se desvanece como

\vec{r}

$\vec{r}$ diverge en vista del lema de Riemann-Lebesgue. Su afirmación, tal como está, es falsa.

Valter Moretti

La cuestión es que, es cierto que ninguna señal puede pasar de una cuña a otra, pero

Ω

$\Omega$ el estado de vacío es un objeto no local. ... Piense en la propiedad de Reeh-Schlieder, por ejemplo.

OON

@ValterMoretti ok, me revisaré y responderé pero unas horas más tarde

Valter Moretti

@ONN Asegúrate de haber entendido bien tu afirmación: dices eso, por ejemplo

ϕ (g) | Ω ⟩

$\phi(g)|\Omega\rangle$ es idéntico a

| Ω ⟩

$|\Omega\rangle$ cuando

g

$g$ se apoya en la cuña derecha y las mediciones locales (funciones de Wightman) se realizan en la cuña izquierda. ¿He entendido bien?

OON

@ValterMoretti Parece correcto y también creo que tiene razón sobre su validez. Así que espera, probablemente lo reescribiré con más declaraciones correctas más adelante.

nirmalya kajuri

@OON Físicamente, por supuesto, actuar en el vacío con un operador de campo no tiene ningún significado físico. El argumento de que cualquier operación realizada en una cuña no afecta las mediciones en otras se traduciría en actuar sobre el vacío con operadores unitarios que actúan solo en una cuña. Podrían corresponder a agregar una perturbación al hamiltoniano que crea partículas localmente en la cuña derecha. Por supuesto, esto dejaría las medidas de la cuña izquierda igual. Supongo que eso es lo que quieres.

OON

@NirmalayaKajuri Creo que hay un conjunto más general de estados de este tipo que solo con la transformación unitaria de una cuña. De todos modos, hay muchos estados desagradables como

ρ_{L} \otimes ρ_{R}

$\rho_L\otimes\rho_R$ que no se puede obtener simplemente por tal transformación unitaria sino que tiene singularidades en los horizontes. Trataré de reflejar todo esto mañana, demasiado cansado en este momento :(((

nirmalya kajuri

Sí, pero esos no son estados válidos en la teoría del campo espacial de Minkowski. Efectivamente, mi pregunta es si hay estados más generales en el Mink. teoría del campo espacial que las que pueden obtenerse mediante transformaciones unitarias. Déjame saber lo que piensas :)

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