¿El axioma de separabilidad es realmente necesario?

Primero, permítanme afirmar que la noción de un espacio de Hilbert no es fundamental en la teoría cuántica. Uno puede realizar el mismo sistema físico cuántico usando diferentes espacios de Hilbert. Esto se debe a que los estados cuánticos (que en realidad son los objetos que importan físicamente) solo están débilmente conectados a los vectores en un espacio de Hilbert. Es cierto que los estados puros corresponden a rayos de vectores en estados de Hilbert, pero cuando se consideran estados mixtos, la correspondencia se vuelve más indirecta.

Streater y Wightman dan un argumento clásico a favor de la irrelevancia de los espacios de Hilbert no separables en la teoría cuántica de campos en su libro : PCT, Spin and statistics and all that (páginas 85-87).

Primero prueban que el espacio de Hilbert correspondiente a un campo libre es separable (el espacio de Fock). En segundo lugar, argumentan que en una teoría de campos interactivos, al menos en el caso de que nos interesen solo los estados de dispersión, estos son básicamente libres, por lo que en el caso de un número finito de especies de partículas, corresponden a un tensor finito. producto de espacios de Fock, por lo tanto, un espacio de Hilbert separable.

Dan dos ejemplos principales de espacios de Hilbert no separables: 1) El producto tensorial infinito de los osciladores armónicos, argumentan que el campo observable de Bose se puede definir en un subespacio diminuto de este espacio, principalmente el espacio de Fock, 2) Espacios de Hilbert correspondientes a infinitos sistemas estadísticos cuánticos de densidad finita de volumen. Aquí, los vectores base del espacio de Hilbert serán parametrizados por la densidad, por lo que el espacio de Hilbert es genuinamente no separable. Hay ejemplos conocidos de este caso.

Se pueden agregar dos tipos de espacios de Hilbert no separables: 3) El espacio de Hilbert de celosía de espín infinito, donde cada giro de espín corresponde a un vector de base diferente. 4) Productos tensoriales continuos de espacios de Hilbert. La teoría de los productos tensoriales continuos fue iniciada por von-Neumann y tiene aplicaciones matemáticas.

En el primer caso 3), se obtiene un espacio de Hilber separable si se divide por difeomorfismos, y esto sucede en algunas aplicaciones físicas, donde el espacio de Hilbert no separable se vuelve innecesario. Por otro lado, la construcción GNS puede dar lugar a espacios de Hilbert no separables.

Recientemente ha surgido un interés renovado en los espacios de Hilbert no separables en relación con la gravedad cuántica (especialmente la gravedad cuántica de bucles), donde se están utilizando espacios de Hilbert de los tipos 3) y 4). Este enfoque es avanzado por T. Thiemann, ver por ejemplo el siguiente artículo . Además, esta teoría utiliza espacios de Hilbert en grafos que generalizan el caso tipo 3).

Hay otra aplicación en la que los sistemas con álgebras no asociativas de operadores que aparecen dentro de las teorías de cuerdas se transforman en teorías asociativas en un espacio de Hilbert no separable; consulte, por ejemplo, el siguiente artículo de Sämann y Szabo.

Desde el punto de vista de los axiomas de Wightman, la suposición de separabilidad en el espacio de Hilbert se puede derivar de algunos de los otros axiomas si adopta una formulación usando$n$-funciones puntuales.

El razonamiento es el siguiente. Una teoría cuántica de campo (digamos, escalar) sobre$\mathbb{R}^d$puede pensarse como especificado por una secuencia de$n$-distribuciones puntuales$\omega_n\in\mathscr{D}'(\mathbb{R}^{nd})$,$n=1,2,3,\ldots$satisfaciendo una condición de positividad que se especificará en breve (los otros axiomas de Wightman no son relevantes para el propósito de establecer la separabilidad del espacio de Hilbert "vacío").

El punto es que esta secuencia de distribuciones puede considerarse como un funcional lineal$\omega$en el álgebra$\mathfrak{F}=\mathbb{C}\oplus\left(\bigoplus^{\infty}_{n=1}\mathscr{D}(\mathbb{R}^{nd})\right)$- un elemento$f=(f_0,f_1,f_2,\ldots)\in\mathfrak{F}$es una secuencia tal que$f_0\in\mathbb{C}$,$f_n\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^{nd})$son cero para todos pero finitamente muchos$n\in\{0,1,2,\ldots\}$. Las operaciones algebraicas de$\mathfrak{F}$se definen de la siguiente manera: si$f,g\in\mathfrak{F}$y$\alpha\in\mathbb{C}$, entonces escribimos:

• Suma:$f+g=(f_0+g_0,f_1+g_1,f_2+g_2,\ldots)$;
• Multiplicación escalar:$\alpha f=(\alpha f_0,\alpha f_1,\alpha f_2,\ldots)$;
• Producto:$fg=((fg)_0,(fg)_1,(fg)_2,\ldots)$, dónde$(fg)_0=f_0g_0$y$(fg)_n(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i+j=n}f_i(x_1,\ldots,x_i)g_j(x_{i+1},\ldots,x_n)$;
• Involución:$f^*=(f_0^*,f_1^*,f_2^*,\ldots)$, dónde$f_0^*=\overline{f_0}$y$f^*_n(x_1,\ldots,x_n)=\overline{f_n(x_n,\ldots,x_1)}$.

El producto es simplemente el producto tensorial de las funciones de prueba, mientras que la involución (una especie de análogo no conmutativo de la conjugación compleja) hace$\mathfrak{F}$en una unidad$*$-álgebra. Esta *-álgebra hereda una topología (localmente convexa) de los espacios de función de prueba$\mathscr{D}(\mathbb{R}^{nd})$lo que la convierte en la llamada *-álgebra nuclear . La secuencia$\omega=(\omega_0,\omega_1,\omega_2,\ldots)$, dónde$\omega_0=1$, se convierte en un funcional lineal (continuo) en$\mathfrak{F}$si establecemos$\omega(f)=f_0+\sum_{n=1}^\infty\omega_n(f_n)$(la suma siempre es finita según nuestra definición de$\mathfrak{F}$arriba). El *-álgebra$\mathfrak{F}$a veces se llama álgebra de Borchers-Uhlmann .

Ahora podemos enunciar nuestra condición de positividad en$\omega$: para todos$f\in\mathfrak{F}$, Debemos tener$\omega(f^*f)\geq 0$. En otras palabras,$\omega$es un estado (n algebraico) en el *-álgebra$\mathfrak{F}$.

En este punto, podemos invocar un resultado debido a K. Maurin ("Mathematical Structure of Wightman Formulation of Quantum Field Theory", Bull. Acad. Polon. Sci. 9 (1963) 115-119), que esencialmente nos dice que el nuclearidad de$\mathfrak{F}$y la continuidad de$\omega$implican que el espacio de Hilbert obtenido por el teorema de reconstrucción de Wightman (-GNS) es separable. Tenga en cuenta que la construcción real del espacio de Hilbert y el vector de "vacío" solo necesitan positividad para funcionar. Los demás axiomas (covarianza, causalidad) son necesarios para obtener la representación unitaria del grupo de Poincaré, condición de espectro, etc. Por lo tanto, el argumento de Maurin es más fuerte (y más simple) que el que se encuentra en el libro de Streater-Wightman.

El argumento se puede extender a campos de cualquier espín, siempre que definamos el producto tensorial de las secciones de prueba de paquetes de vectores de la manera adecuada. No conozco un análogo de este argumento para campos en los que no se cumple el requisito de positividad (por ejemplo, campos electromagnéticos en un indicador covariante). Sin embargo, para campos libres, el teorema de reconstrucción de Wightman es solo la construcción del espacio de Fock de vacío a partir del espacio de una partícula, que siempre produce un espacio de Hilbert separable. En general, uno puede pensar en esos espacios de Hilbert como "sectores", como se argumenta en la respuesta de David Bar Moshe.

Finalmente, se debe recordar que existen otros espacios de Hilbert que son interesantes para la teoría cuántica de campos y no son separables. Por supuesto, estos no se pueden obtener solo con el teorema de reconstrucción de Wightman. Un ejemplo de este tipo lo proporcionan todos los estados coherentes de un campo libre. Se puede utilizar la reconstrucción de Wightman con un solo estado coherente, pero el espacio de Hilbert resultante no puede contener todos los estados coherentes. Dichos espacios también aparecen indirectamente en la aproximación Bloch-Nordsieck en QED, utilizada para tratar problemas de infrarrojos. Son un caso particular del producto tensorial continuo de los espacios de Hilbert mencionado en la respuesta de David Bar Moshe, que también analiza otros ejemplos de interés.

Me gustaría agregar una ilustración de nivel realmente elemental de algunas de las respuestas de David Bar Moshe cuando dice:

... Dan dos ejemplos principales de espacios de Hilbert no separables: 1) El producto tensorial infinito de osciladores armónicos, ...

El siguiente ejemplo está claramente muy por debajo del nivel que busca el OP, pero es de esperar que muestre a una audiencia más amplia qué pregunta tan excelente y sorprendentemente práctica es realmente el OP. Muestra que en este caso particular, el axioma de separabilidad tiene un significado físico claro y práctico aquí: "solo debemos poner un número finito de partículas en un volumen de cuantificación finito".

Simplemente tome un espacio de Fock fermiónico para un volumen de cuantificación finito, de modo que haya infinitas ondas planas contables como "modos". Entonces un miembro base arbitrario es de la forma:

$$\left|\left.0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,\cdots\right>\right.$$

es decir, una cadena contable infinitamente larga de 0 y 1 que muestra qué modos están llenos. Este conjunto se mapea biyectivamente al intervalo$[0,1]$- es simplemente una expansión binaria de un número en$[0,1]$. Así que ¡boom! El viejo$\aleph_1$-in-the-Fock truco: tenemos un espacio de Hilbert con$\aleph_1$¡La base dice así! (llámalo$\beth_1 = 2^{\aleph_0}$si quieres renunciar a la hipótesis del continuo!)

El problema "solo empeora" para los espacios Bosonic Fock, por supuesto (aunque todavía estamos "solo" lidiando con$\aleph_1$).

Uno puede domesticar este espacio diciendo que consideramos el espacio de estados con un número finito de partículas en ellos. Entonces nuestros estados básicos de Fock fermiónicos son equivalentes a expansiones binarias finitas de números en$[0,1]$, es decir , a un subconjunto propio (aquellos con expansiones binarias finitas no recurrentes) de los racionales$\mathbb{Q}\cap[0,1]$en ese intervalo. Así que ahora tenemos de nuevo nuestro espacio amigable separable de Hilbert.

¿Qué tan necesario es el axioma de separabilidad? Claramente hace la vida más fácil y es matemáticamente razonable. Este ejemplo muestra que hay espacios cuánticos fácilmente concebibles (aunque uno podría argumentar cuán "físico" es un número infinito de partículas en un volumen de cuantificación finito) que tienen una cardinalidad de base claramente diferente. Entonces, ya sea que elija o no asumirlo, hace una diferencia en su física. El ejemplo también muestra cómo, en este caso, puede presentar un argumento físicamente razonable de que nuestro espacio cuántico real está abarcado por un escaso subconjunto de los estados básicos incontables. Vale la pena decirlo nuevamente para enfatizar que ese axioma de separabilidad significa física real y práctica aquí: - "solo un número finito de partículas para un volumen de cuantificación finito".

Solo un comentario del lado físico.

Si un sistema físico se describe en un espacio de Hilbert no separable, independientemente del operador hamiltoniano que se elija, los estados térmicos (canónicos de Gibbs o canónicos) no se pueden definir como matrices de densidad (estados mixtos) en el espacio de Hilbert dado.

Entonces, si uno quiere describir la termodinámica de ese sistema, necesariamente debe considerar solo una descripción micro canónica, lo que significa que es imposible que el sistema alcance el equilibrio térmico si está en contacto con una fuente térmica u otro sistema. O uno tiene que explotar el formalismo algebraico desde cero que hace inútil el enfoque inicial del espacio de Hilbert.

Prueba. Si${\cal H}$es un espacio de Hilbert genérico y$\rho$es un operador de clase de traza autoadjunto no negativo en él, sus valores propios que no desaparecen, teniendo en cuenta su multiplicidad , deben ser contables como máximo, de lo contrario:

$$tr(\rho) = \sum_{\lambda \in \sigma(\rho)} m_\lambda\lambda$$
diverge ( $*$). Arriba $m_\lambda\geq 1$es el (siempre finito para $\lambda >0$), multiplicidad de $\lambda$.

Un estado mixto que describe un conjunto canónico o gran canónico de Gibbs es, por construcción, un operador de clase de traza autoadjunto no negativo con valores propios estrictamente positivos y existe una base hilbertiana de vectores propios de$\rho$. Si$\cal H$es inseparable esta base debe ser incontable y esto, a su vez, implica que los valores propios asociados (que no desaparecen), contados con su multiplicidad, forman un conjunto incontable.

---

notas al pie

($*$) si$M= \sup \sigma(\rho) = ||\rho|| <+\infty$, después

$$(0, M)=\cup_{n=1}^{+\infty} (M/(n+1), M/n]\:.$$ Si cada intervalo $(M/(n+1), M/n]$contenía un número finito de valores propios $\lambda >0$(teniendo en cuenta su multiplicidad), su número sería contable. Entonces, si son incontablemente muchos, al menos algún intervalo, digamos $(M/(n_0+1), M/n_0]$, tiene que incluir un número infinito de ellos y por lo tanto $\sum_{\lambda \in \sigma(\rho)} m_\lambda \lambda$diverge porque $$\sum_{\lambda \in \sigma(\rho)} m_\lambda\lambda \geq \infty M/(n_0+1)\:.$$