¿Efecto de Aharonov-Bohm como fase geométrica: no se necesita transferencia adiabática?

La razón de esto es el origen de la conexión de calibre. Cada vez que establece una teoría de fases geométricas, construye un haz de fibras equipado con una conexión.

Si el haz de fibras es el espacio proyectivo de Hilbert + la libertad de calibre U(1), terminará con la fórmula habitual de la fase de Berry con la conexión habitual de Berry solo si aplica la suposición adiabática. De lo contrario, la historia se vuelve más complicada. El origen de esta fase es pues intrínseco a la dinámica.

Sin embargo, en el caso del efecto Aharonov-Bohm, el potencial de calibre no está directamente relacionado con la dinámica. Es un ingrediente extra a la historia. El indicador U(1) asociado con el campo electromagnético no se basa en la suposición adiabática ya que la dinámica de los electrones no altera la conexión del indicador.

Para aclarar el último punto: Dejemos$\Psi_0(\mathbf{r},t)$Sea la función de onda de Schrödinger que se propaga libremente en ausencia de campos electromagnéticos. Cuando activamos el campo EM, el hamiltoniano cambia, de hecho ahora tienes

$$H = \frac{(\mathbf{p} - q \mathbf{A})^2} {2m} + q \phi,$$ dónde $\mathbf{A}$y $\phi$son vector EM y potencial escalar. Una solución a la ecuación de Schrödinger con campo EM viene dada por $\Psi(\mathbf{r},t) = \exp\left(\frac{i}{\hbar} \zeta(\mathbf{r},t) \right)\Psi_0(\mathbf{r},t),$dónde $$\zeta(\mathbf{r},t) = \int_\Gamma A^\mu(x') \text{d} x'_\mu .$$ Aquí he usado la notación de cuatro vectores $A = ( \phi / c, \mathbf{A})$, x = $( ct, \mathbf{r})$, y $\Gamma$denota un camino desde algunos $x_0$a $x$. Esta transformación es el origen de la fase Aharonov-Bohm. En ningún momento se tuvo que forzar ninguna suposición adiabática en la solución. La interpretación, sin embargo, es similar. Puede ver el potencial de cuatro vectores como una conexión en un paquete de fibra, al igual que la conexión Berry.