Ecuaciones de Euler y parte superior simétrica de rotación libre

Para una parte superior simétrica de rotación libre, donde no hay torque, en el marco fijo del cuerpo, ¿estoy en lo correcto al decir que el momento angular L no es constante porque la velocidad angular en el marco fijo del cuerpo

ω = A C o s ( Ω t + ϕ ) mi 1 + A s i norte ( Ω t + ϕ ) mi 2 + ω 3 mi 3
(donde E1, E2 y E3 son los vectores base en la dirección del eje principal) cambia con respecto al tiempo y el momento angular tampoco es paralelo a la velocidad angular porque
METRO = I ω ˙ + ( ω × I ω )
y así, debido a que el par es 0 y la tasa de cambio de la velocidad angular tampoco es 0, ¿entonces el producto vectorial no es 0? Sin embargo el componente ω 3 es paralelo a L 3 porque las ecuaciones de Euler dicen que para un trompo simétrico libre sin momento de torsión, cuando I 1 = I 2 , ω 3 ˙ es igual a 0 y asi ω 3 es paralelo a L 3 . ¿Es esto correcto? Gracias

Lo que escribes es un poco confuso. Rotación libre, ¿en qué tipo de marco? ¿Por "girar libremente" quiere decir que el par es cero (lo que parece contradecir lo que escribe después)? Además, en el marco de la parte superior (rígida), el momento angular debe ser cero.
Gracias por tu comentario. Sí, quiero decir que el par es 0, y creo que me refiero al marco de laboratorio porque las ecuaciones de Euler usan el par en el marco inercial. No veo cómo he contradicho que el par no es 0. Solo estaba estableciendo la ecuación de Euler y luego ajustando el par a 0. Supongo que mi pregunta es cómo cambia el momento angular en el marco del cuerpo rígido. No veo cómo puede ser 0 porque está en precesión.

Respuestas (2)

Esto es solo una adición a la respuesta de Mike, que es correcta.

Esto puede aclarar algunas confusiones:

Es posible que esté siguiendo la mecánica clásica de Taylor, lo que parece ser el caso de su redacción. Si es así, escribe las ecuaciones de Euler en términos de la estructura del cuerpo. En este marco, L (momento angular) se mueve en un bucle alrededor de mi ^ 3 Muy parecido ω (el vector) y mi ^ 3 muévete en un círculo alrededor de L en el marco inercial/laboratorio.

En consecuencia, tienes razón en que L 3 es constante cuando resuelves las ecuaciones, pero que el L 2 y L 1 los componentes no lo son, por lo que L en consecuencia, el vector gira alrededor mi ^ 3 en el marco del cuerpo. ω también lo hace (esto supone que el cuerpo fijo significa "el cuerpo está fijo en este marco").

Finalmente, diciendo ω 3 mi ^ 3 es paralelo a L 3 mi ^ 3 es correcto, pero no estoy seguro de por qué lo mencionas.

Muchas gracias, eso tiene más sentido. Solo una cosa, usando la ecuación en el OP si METRO = I ω ˙ + ( ω × ( I ω ) ) entonces, si el par es 0, ¿eso significa que si tomamos el primer y el segundo componente (en oposición al tercero), entonces porque ω ˙ 1 y ω ˙ 2 no es igual a 0 y METRO 1 y METRO 2 igual a 0 entonces ω 1 × L 1 y ω 2 × L 2 no son 0 y por lo tanto ω 1 no es paralelo a L 1 y lo mismo para el segundo componente? ¿Es eso cierto? No estoy seguro de si eso es matemáticamente correcto.
De hecho, no recuerdo la ecuación M; Supongo que es la ecuación del par, pero francamente lo he olvidado. No estoy seguro de lo que quieres decir con ω 1 × L 1 . L es un vector, L = ( L 1 , L 2 , L 3 ) y del mismo modo para ω . En consecuencia, decir ω 1 × L 1 sería interpretado como ω 1 mi 1 × L 1 mi 1 , si utiliza × para indicar el producto cruzado. Sin embargo, creo que tienes la imagen correcta en tu cabeza, porque en su conjunto, L no es paralelo a ω ya que los momentos de inercia difieren para el mi 3 versus mi 2 y mi 1 hachas
para ser claro, ω × L ≠ ω 1 × L 1 + ω 2 × L 2 . . . etc. ¿Puede estar confundiendo el producto punto con el producto cruzado?

El momento angular, visto desde el marco de inercia, es constante. La velocidad angular no es constante.

La curva trazada por el punto final del vector de velocidad angular ω de un cuerpo rígido que gira libremente se llama herpolhode El punto final de la velocidad angular se mueve en un plano en el espacio absoluto, llamado el plano invariable que es ortogonal al vector de momento angular L . El hecho de que el herpolhode sea una curva en el plano invariable aparece como parte de la construcción de Poinsot .

Como se describe en la Mecánica clásica de Goldstein : "El polhode rueda sin resbalar sobre el herpolhode que se encuentra en el plano invariable".

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