Ecuaciones de Euler-Lagrange y fuerzas de fricción

Question

Ecuaciones de Euler-Lagrange y fuerzas de fricción

Jinawee

Podemos derivar ecuaciones de Lagrange suponiendo que el trabajo virtual de un sistema es cero.

d W = \sum_{i} (F_{i} - \dot{{pag}_{i}}) d r_{i} = \sum_{i} (F_{i}^{(a)} + F_{i} - \dot{{pag}_{i}}) d r_{i} = 0

$\delta W=\sum_i (\mathbf{F}_i-\dot {\mathbf{p}_i})\delta \mathbf{r}_i=\sum_i (\mathbf{F}^{(a)}_i+\mathbf{f}_i-\dot {\mathbf{p}_i})\delta \mathbf{r}_i=0$

Dónde $\mathbf{f}_i$ son las fuerzas restringidas y se supone que no hacen ningún trabajo, lo cual es cierto en la mayoría de los casos. Citando a Goldstein:

[El principio del trabajo virtual] ya no es cierto si las fuerzas de fricción por deslizamiento están presentes [en la cuenta de las fuerzas de restricción], ...

Así que entiendo que deberíamos excluir las fuerzas de fricción de nuestro tratamiento. Después de algunas manipulaciones llegamos a:

\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} = q_{i}

$\frac{d}{dt}\frac {\partial T}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}=Q_i$

Más adelante en el libro, se introduce la función de disipación de Rayleigh para incluir las fuerzas de fricción . Entonces dado que $Q_i=-\frac {\partial \mathcal{F}}{\partial \dot q_i}$ y $L=T-U$ , obtenemos:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} + \frac{\partial F}{\partial {\dot{q}}_{i}} = 0

$\frac{d}{dt}\frac {\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}+\frac {\partial \mathcal{F}}{\partial \dot q_i}=0$

Pregunta: ¿No es esto una inconsistencia de nuestra prueba? ¿Cómo sabemos que se cumple la ecuación? ¿O es solo una suposición educada que resulta ser cierta?

Jinawee

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/21205

pppqqq

La condición

\sum_{i} F_{i} δ r_{i} = 0

$\sum _i F _i \delta r _i=0$ expresa equilibrio y no se aplica al caso dinámico. Debería ser

\sum_{i} (F_{i} - m a_{i}) δ r_{i}

$\sum _i (F_i - m a_i) \delta r _i$ , ¿bien?

Respuestas (2)

Ecuaciones de Euler-Lagrange y fuerzas de fricción

La condición $\sum _i F _i \delta r _i=0$ expresa equilibrio y no se aplica al caso dinámico. Debería ser $\sum _i (F_i - m a_i) \delta r _i$ , ¿bien?

Valter Moretti · Answer 1

En realidad, al menos para un solo punto sujeto a una fuerza de fricción $F= -\gamma v$ y otras fuerzas asociadas con un potencial $U(t,x)$ existe un Lagrangiano:

L = {mi}^{t γ / metro} (\frac{metro}{2} {\dot{X}}^{2} - tu (t, X)) .

${\cal L}=e^{t\gamma/m}\left(\frac{m}{2}\dot{x}^2 -U(t,x)\right)\:.$ El punto es que este Lagrangiano no es de la forma

T - U

$T-U$ , sin embargo, da lugar a la ecuación de movimiento correcta , la misma que se obtiene al usar la función de disipación de Rayleigh que mencionaste.

Sin embargo, este Lagrangiano no puede producirse mediante la aplicación directa del principio de trabajos virtuales que mencionas.

¿Pero mi última ecuación no daría las mismas ecuaciones de movimiento?
Interesante. ¿Conoce alguna aplicación útil de este Lagrangiano u otro similar para la descripción de movimientos disipativos?
¡Lamentablemente no! Utilizo cosas similares solo como ejemplos en mis conferencias sobre mecánica analítica, pero mi campo de investigación es la teoría cuántica relativista, por lo que nunca profundicé en estos temas.
muy inteligente! ¿Podrías poner este Lagrangiano en el estándar? $T-U$ formar sumando y restando $m \dot{x}^2 /2$ (entonces $U=L+T$ es un desorden dependiente de la velocidad y el tiempo)?
Notaste en tu respuesta que el Lagrangiano no estaba en la forma $T-U$ : Estoy preguntando si no puedes "forzarlo" en esa forma. (Tengo un motivo oculto para preguntar, relacionado con la respuesta de @QMechanic a esta pregunta). (por cierto, para notificar a alguien que no sea el propietario de la publicación de un comentario, debe incluir su identificador, como hice aquí con QMechanic).
@Art Brown, sí que puedes. También puede definir $M(t):= e^{t\gamma/m}m$ y $U'(t,x):= e^{t\gamma/m}U(t,x)$ y tu tienes ${\cal L}= (1/2)M(t)\dot{x}^2 - U'(t,x)$ .

qmecanico · Answer 2

qmecanico

El punto principal es que Goldstein no dice que debamos excluir las fuerzas de fricción en nuestro tratamiento, sino que debemos colocarlas en la cuenta de las fuerzas aplicadas (de las que hacemos un seguimiento en el principio de D'Alembert) y no en el otro contenedor de las fuerzas restantes. fuerzas, ver este y este Phys.SE publicaciones.

Por supuesto, no existe un potencial generalizado $U$ por las fuerzas de rozamiento ${\bf F}=-k {\bf v}$ , solo la función de disipación de Rayleigh , consulte esta publicación de Phys.SE y esta publicación de desbordamiento matemático.

Arte Marrón

Me parece que hay un conflicto entre su respuesta a su pregunta vinculada (# 20929) y el Lagrangiano "friccional" del profesor Moretti aquí, que se puede escribir como energía cinética menos un potencial dependiente del tiempo y la velocidad. Sospecho que la dependencia temporal explícita está en la raíz del problema. ¿Pensamientos? Gracias.

qmecanico

@Art Brown: 1. En primer lugar, como V. Moretti ya se menciona a sí mismo en su respuesta, su Lagrangiano no se origina en el principio de d'Alembert. Por lo tanto, estrictamente hablando, no es una respuesta a la pregunta de OP, que parte del principio de d'Alembert. El principio de D'Alembert contiene un término cinemático y uno dinámico, que se escriben de forma aditiva, mientras que su Lagrangiano mezcla cantidades cinemáticas y dinámicas. 2. En segundo lugar, su Lagrangiano no funciona si hay otras fuerzas dependientes de la velocidad presentes, como, por ejemplo, la fuerza de Lorentz.

qmecanico

3. En tercer lugar, su Lagrangiano no contradice el hecho de que la fuerza de fricción

F = - k v

${\bf F}=-k {\bf v}$ no tiene un potencial generalizado

U

$U$ tal que

F = \frac{d}{d t} \frac{\partial U}{\partial v} - \frac{\partial U}{\partial r}

${\bf F}=\frac{d}{dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}}$ , cf. la publicación #20929 .

Cachemira

@Qmechanic, señor Incluir la fricción en la derivación conducirá finalmente a una ecuación como esta

\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} = Q_{i}

$\frac{d}{dt}\frac {\partial T}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}=Q_i$ ? Donde Qi contiene el término friccional.

qmecanico

↑

$\uparrow$ Sí.

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