Mostrar una mayor amplitud del péndulo físico significa un período más grande

Dibujemos nuestro péndulo:

La ecuación de movimiento es:

$$F\ell = -I\frac{d^2\theta}{dt^2}$$

Esto puede parecer un poco extraño, pero es solo el movimiento circular equivalente a$F = ma$. Reemplazamos la fuerza por el torque,$F\ell$, la masa por el momento de inercia$I$y la aceleración por la aceleración angular$\ddot{\theta}$. Un poco de geometría rápida nos da$F = mg\sin\theta$, por lo que nuestra ecuación se convierte en:

$$mg\sin\theta\ell = -I\frac{d^2\theta}{dt^2}$$

Suponiendo que nuestra masa es un punto, el momento de inercia es justo$I = m\ell^2$, y con un reordenamiento rápido obtenemos:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\sin\theta$$

Lo que tu profesor de física hará a continuación es señalar que$\sin\theta$se puede expandir como una serie de potencias:

$$\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - ...$$

y si$\theta$es pequeño entonces los poderes superiores de$\theta$son muy pequeños y obtenemos$\sin\theta \approx \theta$. Sustituye esto por$\sin\theta$en nuestra ecuación anterior y obtenemos:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\theta \tag{1}$$

que es nuestra vieja y buena ecuación de movimiento armónico simple.

Ahora podemos responder a su pregunta, porque si seguimos aumentando el ángulo de giro vamos a llegar a un punto en el que el$\theta^3$término es demasiado grande para ser ignorado. En ese caso nuestra ecuación (1) se convierte en:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!}\right) \tag{2}$$

Ahora tome dos péndulos (¿pénduli?), uno descrito por la ecuación armónica simple (1) y otro descrito por nuestra ecuación más precisa (2), y comience con algún ángulo inicial$\theta_0$. La aceleración angular calculada por la ecuación (2) es menor que la aceleración angular calculada por la ecuación (1) para todos los valores de$\theta$(excepto en$\theta = 0$). Entonces, si ambos péndulos comienzan en el mismo lugar,$\theta_0$, el péndulo 2 debe tardar más en llegar a$\theta = 0$que el péndulo 1 voluntad. Pero este tiempo es solo una cuarta parte del período, y eso significa que el período del péndulo 2 debe ser mayor que el período del péndulo 1. Entonces, para un péndulo real, el período debe aumentar al aumentar la amplitud de la oscilación.

Aquí hay una solución que es similar a la de John Rennie pero, con suerte, menos complicada. También robaré su imagen:

El péndulo tiene energía cinética.$T$, energía potencial$U$y energía total$E=T+U$, dónde

$$T = \frac12 m\ell^2 \dot\theta^2, \quad\quad U = mg\ell(1-\cos\theta).$$

La aproximación armónica simple toma el límite$\theta\ll1$, dónde

$$U = mg\ell \left( \frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^2}{4!} + \cdots \right) \approx mg\ell \frac{\theta^2}2 \equiv U_\text{quadratic}$$ Ahora está claro en pequeño $\theta$, y pasa a ser el caso para todos $\theta$, eso $U_\text{quadratic}$es una sobreestimación de $U$:

Por lo tanto cualquiera que sea nuestro punto de partida$\theta$pasa a ser, usando la aproximación armónica simple$U_\text{quadratic}$predice demasiada energía total$E$, y en consecuencia demasiada energía cinética$T$--- nuestro péndulo físico va más lento que en la aproximación. La predicción de un período constante$\tau_\text{quadratic} = 2\pi\sqrt{\ell/g}$por lo tanto, es una subestimación, y la subestimación empeora para amplitudes grandes, por lo que el período debe aumentar con la amplitud.

La frecuencia de un péndulo simple es fácil de calcular, incluso para grandes amplitudes angulares. Considere el péndulo en la siguiente figura.

Para amplitudes pequeñas ($2l-d << l$) este péndulo oscila a una frecuencia angular$\omega_+=\sqrt{g/l}$.

Ahora definimos un péndulo con una longitud 'recíproca'$l'=2l^2/d$. Este péndulo recíproco tiene una frecuencia de amplitud pequeña.$\omega_-=\sqrt{gd/2l^2}$. Sorprendentemente, la frecuencia del péndulo original (de longitud$l$) Se puede escribir como

$$\omega=agm(\omega_+,\omega_-)$$ Aquí,$agm$denota la media aritmético-geométrica , estudiada por primera vez por Gauss.

Ahora, es fácil ver que basado en$d<2l$el brazo del péndulo recíproco siempre es más largo que el brazo del péndulo original, y por lo tanto$\omega_-<\omega_+$siempre aguanta y$\omega_-$disminuye cada vez que$d$disminuye El$agm$es realmente fácil de calcular (Google es tu amigo aquí), pero todo lo que necesitamos para asegurarnos de que$\omega$disminuye cuando$d$disminuye (y por lo tanto la amplitud aumenta), es el simple hecho de que$agm$realmente actúa como un medio. En otras palabras,$agm(\omega_+,\omega_-)$disminuye si$\omega_-$disminuye mientras$\omega_+$permanece fijo. Presto.

El riesgo de una respuesta "intuitiva" es que las intuiciones de las personas a menudo se tuercen.

Aquí hay una respuesta intuitiva: tome dos péndulos idénticos. liberar uno en$\theta$y el otro en$2*\theta$de la vertical No importa qué más, el péndulo que comienza desde más lejos nunca puede "alcanzar" al otro. Además, dado que es obvio que tendrá una KE mayor en la vertical, viajará más lejos "hacia arriba" en el lado opuesto. Después de todo, si dejas caer dos bolas desde diferentes alturas, la más alta siempre tardará más en llegar al suelo. (excepto que ahora también debes probar eso :-( )

Eso es genial, pero alguien más dirá "pero, ¿y si el$2*\theta$¿el péndulo acelera tan rápido que alcanza?" [Algo así como el infame argumento de que "el agua caliente se congela más rápido que la fría"] Y así sucesivamente. En algún momento tendrá que usar un poco de matemáticas para probar su caso.