Ecuación diferencial en movimiento circular no uniforme

tengo una pregunta que dice

Un astronauta está realizando un experimento en una nave espacial en condiciones de gravedad cero. Una cuenta se enrosca en un alambre circular y se pone en movimiento con velocidad angular ω 0 sobre el centro. Si el coeficiente de fricción entre la perla y el alambre es m , demuestre que la velocidad angular ω en el momento t satisface la ecuación diferencial ω ˙ = − m ω 2 . Resuelva esta ecuación y, por lo tanto, encuentre una expresión para θ , el ángulo se volvió después del tiempo t . Demuestre que, de acuerdo con este modelo, la cuenta nunca se detendrá por completo.

He demostrado que la ecuación diferencial ω ˙ = − m ω 2 Está satisfecho. Sin embargo, estoy luchando para resolver la ecuación diferencial. ¿Tengo razón al pensar que es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden? Si es así como soluciono esto. Mi libro de texto no requiere que sepas cómo resolver ecuaciones diferenciales no lineales, entonces, ¿hay alguna forma especial de hacerlo?

Respuestas (2)

Esto se puede integrar directamente. Tienes

d ω d t = − m ω 2 ,
y puedes separar las variables:
d ω ω 2 = − m d t .
Este último lo puedes integrar por ambos lados y obtener ω como una función de t .

He resuelto la ecuación haciéndolo en dos pasos. En primer lugar, en lugar de pensar en ello como θ ¨ = − m θ ˙ 2 , trátalo como d ω d t = − m ω 2 , que se puede resolver separando las variables:

∫ 1 ω 2   d ω = ∫ − m   d t − 1 ω = C − m t
C se puede encontrar introduciendo las condiciones iniciales, t = 0 ,   ω = ω 0 , dar C = − 1 ω 0
ω = − ω 0 1 + m ω 0 t
De esto, θ se puede encontrar haciendo:
d θ d t = − ω 0 1 + m ω 0 t θ = ∫ − ω 0 1 + m ω 0 t   d t θ = 1 m en ⁡ | 1 + m ω 0 t |

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