Determinación de los términos de corrección para una forma equivalente a la ecuación relativista de Schrödinger

Question

Determinación de los términos de corrección para una forma equivalente a la ecuación relativista de Schrödinger

reverendojamesm

Estoy leyendo el libro Stochastic Processes in Quantum Physics de Masao Nagasawa y tengo algunos problemas para entender el siguiente resultado. Agradecería mucho cualquier ayuda. Es que el Teorema 7.2.1 dice que si $\psi(x,t)=\exp(R(x,t)+iS(x,t))$ , dónde $R$ y $S$ tienen valor real, satisface la ecuación relativista de Schrödinger

i \partial_{t} ψ = (\sqrt{- C^{2} Δ + {metro}^{2} C^{4}} - metro C^{2}) ψ

$i\partial_t \psi=\left(\sqrt{-c^2\Delta+m^2c^4 }-mc^2\right)\psi$ entonces

ϕ_{\pm} (x, t)

$\phi_{\pm}(x,t)$ definido como

ϕ_{\pm} (x, t) = \exp (R (x, t) \pm S (x, t))

$\phi_{\pm}(x,t)=\exp(R(x,t)\pm S(x,t))$ satisfacer

\pm \partial_{t} ϕ_{\pm} - v (X, t) ϕ_{\pm} = (\sqrt{- C^{2} Δ + {metro}^{2} C^{4} + C {\nabla, B (X, t)} + v (X)^{2}} - metro C^{2}) ϕ_{\pm}

$\pm\partial_t \phi_{\pm}-v(x,t)\phi_{\pm}=\left(\sqrt{-c^2\Delta+m^2c^4 +c\{\nabla, \textbf{B}(x,t)\}+v(x)^2}-mc^2\right)\phi_{\pm}$ dónde

v (t, x)

${v}(t, x)$ y

B (t, x)

$\textbf{B}(t, x)$ están determinados por las ecuaciones

\begin{matrix} (1) & C B \cdot \nabla R - v \frac{\partial R}{\partial t} + \frac{\partial^{2} S}{\partial t^{2}} + 2 \frac{\partial R}{\partial t} \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \end{matrix}

$c\textbf{B} \cdot \nabla R-v \frac{\partial R}{\partial t}+\frac{\partial^{2} S}{\partial t^{2}}+2 \frac{\partial R}{\partial t} \frac{\partial S}{\partial t}=0 \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & C B \cdot \nabla S - v (\frac{\partial S}{\partial t} - metro C^{2}) + C^{2} Δ R + C^{2} (\nabla R)^{2} + {(\frac{\partial S}{\partial t})}^{2} = 0 \end{matrix}

$c\textbf{B}\cdot \nabla S-v\left(\frac{\partial S}{\partial t}-mc^2\right)+c^{2} \Delta R+c^{2} (\nabla R)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial t}\right)^{2}=0 \tag{2}$ bajo la condición de calibre

C \nabla \cdot B = \frac{\partial v}{\partial t}

$c\nabla \cdot \textbf{B}=\frac{\partial v}{\partial t}$

Lo que no entiendo es el siguiente reclamo: en la página 239 dice que uno puede determinar los términos de corrección $\textbf{B} (t, x)$ y $v(t, x)$ de potenciales vectoriales y escalares utilizando las ecuaciones (1) y (2). Eso es lo que no comprendo, no veo cómo se podría calcular $\textbf{B}$ y $v$ de estas ecuaciones. Tal vez podría agregar que, en última instancia, estoy interesado en tomar el límite no relativista. $c\to+\infty$ , entonces lo ideal sería tener una expresión cerrada para los términos de corrección $\textbf{B}$ y $v$ .

Respuestas (1)

Determinación de los términos de corrección para una forma equivalente a la ecuación relativista de Schrödinger

jacob un · Answer 1

Esta fue una respuesta demasiado larga para un comentario, pero espero que pueda ayudar:

en el limite $c \to \infty$ , tus ecuaciones se reducen a

\begin{matrix} (1) & B \cdot \nabla R = 0 \end{matrix}

$\textbf{B} \cdot \nabla R=0 \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & metro v + Δ R + (\nabla R)^{2} = 0 \end{matrix}

$mv+ \Delta R+ (\nabla R)^{2}=0 \tag{2}$ con la condición de calibre no relativista

\nabla \cdot B = 0

$\nabla \cdot {\bf B} = 0$ . Así que generalmente podemos tomar

B = \nabla \times A

${\bf B}=\nabla \times A$ para algún vector potencial

A

$A$ . Sin embargo, me doy cuenta de que este es un problema estrictamente unidimensional, por lo que tenemos

B = k + f (t)

${\bf B}=k + f(t)$ , una constante más alguna función en el tiempo. Además,

R

$R$ es unidimensional, por lo que podemos reescribir estas ecuaciones como

\begin{matrix} (1*) & (k + F (t)) \cdot R^{'} (X) = 0 \end{matrix}

$(k+f(t)) \cdot R'(x) = 0 \tag{1*}$

\begin{matrix} (2*) & metro v + R^{″} (X) + (R^{'} (X))^{2} = 0 \end{matrix}

$mv+R''(x)+(R'(x))^2=0 \tag{2*}$ parece que la ecuación 1 se puede simplificar a

R (x) = n

$R(x)=n$ , otra constante. En total, esta solución constante parece bastante mundana, así que espero que alguien pueda arrojar más luz sobre este problema.

Hola Jacob, muchas gracias por tu respuesta. El límite no relativista de las ecuaciones (1) y (2) que tienes es exactamente lo que esperaba. Sin embargo, no puedo dejar de notar que $R$ , $S$ , y $v$ podría depender de $c$ ( $R$ y $S$ probablemente sí, como una solución a la ecuación relativista de Schrödinger), así que no estoy seguro de cómo se puede argumentar que este límite es el correcto.

Determinación de los términos de corrección para una forma equivalente a la ecuación relativista de Schrödinger

reverendojamesm

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jacob un

reverendojamesm

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