Ecuación de Lagrange para fuerzas impulsivas

Este razonamiento es correcto, pero también es necesario probar que la 2.ª integral LHS es cero.

Si el primitivo$f$de la derivada parcial$\frac{\partial L}{\partial q}$, es decir ,$\frac{df}{dt} = \frac{\partial L}{\partial q}$no satisfizo$f_{i}=f_{f}$, entonces la segunda integral LHS no sería cero.

Dado que se supone que las fuerzas impulsivas producen solo un cambio no continuo en las velocidades generalizadas en el tiempo infinitesimal$\Delta t$, pero no en las coordenadas generalizadas, entonces$\frac{\partial L}{\partial q}$permanece continua si las fuerzas no impulsivas son sólo dependientes del espacio.

Este es el caso en este ejemplo particular de dos bolas de billar en un plano xy . El$x_{i}$y$y_{i}$las coordenadas no están restringidas y son las coordenadas generalizadas$q_{i}$también. Entonces la relación

es válido, donde$\tilde{F}_{i}$es la fuerza no impulsiva dependiente del espacio.

Tenga en cuenta que las bolas de billar no son irrelevantes para el problema. Si las bolas estuvieran sujetas a una fuerza dependiente de la velocidad, o la energía cinética dependiera también de las coordenadas espaciales$q_{i}$, entonces este resultado no sería válido ya que la segunda integral LHS podría no desaparecer. Por ejemplo, este resultado no es válido para dos péndulos en colisión, porque la energía cinética$T = m/2 (\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})$depende explícitamente de la coordenada generalizada$r$. Físicamente, esto significa que justo después de la colisión se produce un cambio no continuo en la tensión de la varilla sin masa que soporta la masa.