Ecuación de Dirac con derivación de acoplamiento mínimo de la ecuación de Klein-Gordon

Me pregunto si la forma de la ecuación de Dirac dada en el caso de acoplamiento mínimo se puede "cuadrar" para devolver la ecuación de Klein-Gordon correspondiente como se hace normalmente en el caso sin campo. Específicamente, estoy tratando de reproducir la ecuación,

( H ^ − q ϕ ) 2 = C 2 ( pag ^ − q A → ) 2 + metro 2 C 4 .

Parto de la ecuación de Dirac, incluido el acoplamiento mínimo motivado por el hamiltoniano relativista escrito como,

H ^ − q ϕ = α → ⋅ C ( pag ^ − q A → ) + β metro C 2

dónde α → es un vector de matrices con el mismo tamaño que β y ϕ , A → son los potenciales escalares y vectoriales, respectivamente. Luego, una vez que elevo la ecuación al cuadrado para dar las condiciones en los diversos α j y β por consistencia con la ecuación de Klein-Gordon, me encuentro con un problema donde términos como,

α X α y ( pag − q A ) X ( pag − q A ) y + α y α X ( pag − q A ) y ( pag − q A ) X

no desaparezcan por completo incluso después de hacer cumplir las relaciones anticonmutador { α j , α k } = 2 d j k de los diversos α j (que motivé al mostrar que los términos cruzados en solo el impulso deben desaparecer). Según los términos que he dejado, parece que puede haber algo que se parezca a ∇ × A → ≡ B → , pero esto aún no reproduciría la ecuación de Klein-Gordon. Así que mi pregunta principal es, ¿podemos justificar la forma de la ecuación de Dirac en el caso de acoplamiento mínimo por referencia a la ecuación de Klein-Gordon, o simplemente aparecerán nuevos términos? Si este es el caso, ¿cómo podemos justificar esta forma de la ecuación de Dirac? Si he cometido un error, también estoy muy abierto a la corrección de eso. Sería bueno motivar completamente esta forma de la ecuación de Dirac, ya que es muy fácil demostrar que esta ecuación obedece a la misma tu ( 1 ) simetría de calibre como la ecuación de Schrödinger.

EDITAR: Encontré una fuente ( https://www.hep.phy.cam.ac.uk/theory/webber/GFT/gft_handout2_06.pdf ) que dice que mis preocupaciones eran válidas; elevar al cuadrado la ecuación de Dirac mínimamente acoplada no reproduce la ecuación de Klein-Gordon con acoplamiento mínimo. Parece que los términos "extra" tienen algo que ver con la interacción del espín del fermión con el campo magnético, donde he leído en otra parte que la ecuación de Klein-Gordon está destinada a describir partículas sin espinas.

Si expande los términos (usando las relaciones anticonmutador para las matrices) parece que no puede deshacerse de las piezas como i ℏ q α X α X ( ∂ X A y − ∂ y A X ) . Al menos, no tengo idea de cómo se podría suponer que es 0. En otras palabras, el hecho de que los términos del impulso ya no se conmutan bajo un acoplamiento mínimo parece significar que la ecuación de Klein-Gordon ya no es consistente con la ecuación de Dirac.
Para un tratamiento excelente de la ecuación de Dirac al cuadrado, véase Itzykson y Zuber.
¡Gracias por la recomendación! Me preocupa que no pueda seguir gran parte de ese libro. Solo soy un químico físico humilde y, por lo tanto, estoy tratando de evitar entrar en la teoría cuántica de campos (por ahora).

Respuestas (1)

El cuadrado del hamiltoniano estático de Dirac es algo así como

H 2 = − ∇ 2 + metro 2 + mi σ ⋅ B
dónde ∇ es la derivada covariante de norma.

Acabo de leer sobre esto después de darme cuenta de que estaba en algo con el ∇ × A → buscando términos! ¿Sería correcto decir que los términos "extra" que encontramos en la ecuación de Dirac al cuadrado son el resultado de la ecuación de Dirac que describe fermiones de espín 1/2 y la ecuación de Klein-Gordon que describe partículas sin espinas?
Sí. Codifican el hecho de que un electrón de Dirac tiene un momento magnético con un gramo -factor de 2, por lo que su energía se altera en un campo magnético.
Maravilloso, gracias. Marcaré su respuesta como aceptada con esa aclaración. Si también puedo preguntar, ¿hay alguna forma (simple) de justificar esto, o es solo una consecuencia matemática que "se cae" de la forma en que intentamos derivar la ecuación de Dirac con un acoplamiento mínimo?
Ecuación de Dirac con derivación de acoplamiento mínimo de la ecuación de Klein-Gordon
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