Ecuación de área de masa de agujero negro

Question

Ecuación de área de masa de agujero negro

masa
volumen
densidad
Física
agujeros negros
horizonte de eventos

sieteVo1d

Supongamos que tenemos un BH con masa $M$ y superficie $A$ . Del raidus de Schwarzschild podemos decir que el Área del BH es proporcional a su masa

A = 4 π r^{2} = \frac{dieciséis π {GRAMO}^{2} {METRO}^{2}}{C^{4}}

$A=4\pi r^2=\frac {16 \pi G^2M^2} {c^4}$ o simplemente digamos

A (METRO) = α {METRO}^{2}

$A(M)=\alpha M^2$

Ahora supongamos que este agujero negro gana masa $m$ por segundo. Podemos ver fácilmente que la masa ganada será proporcional al área de superficie del agujero negro. Por lo tanto podemos escribir

metro \propto A

$m\propto A$ o

metro (A) = β A

$m(A)=\beta A$ dónde

β

$\beta$ es constante

Ahora quiero encontrar que la masa ganada por el agujero negro por segundo ( $M(t)=?$ ).

Pensemos así en $T$ el área de la superficie es

A = α {METRO}^{2}

$A=\alpha M^2$ ;

T : A = α {METRO}^{2}

$T:A=\alpha M^2$ entonces gana masa por cantidad de

d m

$dm$ y aumenta el área en

d A

$dA$ .

entonces en

T + d t : A + d A = α (METRO + d metro)^{2}

$T+dt:A+dA=\alpha (M+dm)^2$

Y la masa ganada en este $dt$ el tiempo será igual a $dm=dA\beta$ o podemos decir $dm=A\beta$

Editar: Vamos a masa cosa $m$ alrededor de la superficie del agujero negro. La masa tiene una densidad $p_m$ . Al usar esto podemos escribir tal ecuación. $dm=Ap_mdr$ o $m=\int Ap_mdr=\int 4\pi r^2dr$ para $r>R$ dónde $R$ es el radio del agujero negro. estaba pensando que el $dM/dt=m$ pero luego pensé que las unidades no coinciden. Pero no puedo dejar de pensar que la respuesta lógica debería ser así ya que el "cambio en la masa del agujero negro" debería ser igual a la masa ganada ¿no?

probablemente_alguien

En primer lugar, el volumen de un agujero negro no es una cantidad bien definida en general. Lo que está considerando es el volumen que parece encerrar el horizonte de sucesos de un agujero negro desde la perspectiva de un observador estacionario lejano. Segundo,

d M / d t

$dM/dt$ depende de ambos

d V / d t

$dV/dt$ y también

M

$M$ o

V

$V$ sí mismo. Para obtener una respuesta no trivial a esta pregunta, tendrá que restringir más su problema, eligiendo alguna forma para

d M / d t

$dM/dt$ o

d V / d t

$dV/dt$ (por ejemplo, podría exigir que

d M / d t

$dM/dt$ es constante, o linealmente creciente, o alguna otra forma funcional).

sieteVo1d

Entonces, ¿es una buena aproximación usar la ecuación del volumen? Digamos

d M / d t

$dM/dt$ aumenta linealmente. Estaba pensando que "podemos averiguar

d M / d t

$dM/dt$ mediante el uso de estas ecuaciones.

probablemente_alguien

No es una cuestión de una buena o mala aproximación, es solo que la cosa que llamaste

V

$V$ aquí no es necesariamente el volumen de un agujero negro, porque el concepto de "el volumen de un agujero negro" en sí mismo no está bien definido. Puede elegir definirlo de esa manera, claro, pero mi punto era hacerle saber que está eligiendo definir

V

$V$ como el volumen del agujero negro, y puede tener una expresión diferente bajo otras definiciones. En particular, puede que no se comporte como la cantidad que solemos llamar volumen.

probablemente_alguien

En cualquier caso, si quieres "averiguar"

d M / d t

$dM/dt$ , y quiere algo más que una respuesta trivial, entonces necesita darnos más información. Después de todo, no todos los agujeros negros de la misma masa y volumen adquirirán masa al mismo ritmo; algunos pueden estar rodeados de más polvo y gas que otros, por ejemplo. Para saber cuánta masa está ganando el agujero negro, debe saber la velocidad a la que se expande el "volumen" del agujero negro. Entonces, ¿cuál es esa tasa?

AVS

Podemos ver fácilmente que la masa ganada será proporcional al volumen del agujero negro. No veo esto. ¿Cómo gana masa el agujero negro? Podría haber muchos mecanismos que conducen a diferentes ecuaciones. Por ejemplo, si la tasa de acreción está limitada por la luminosidad de Eddington, entonces

d M / d t \sim M

$dM/dt\sim M$ .

sieteVo1d

""Para calcular cuánta masa está ganando el agujero negro, debe saber la velocidad a la que se está expandiendo el "volumen" del agujero negro. Entonces, ¿cuál es esa tasa?" "Tomemos el agujero negro en la vía láctea. ¿Conocemos la tasa de cambio en el volumen del Sag A?. ¿O deberíamos suponer que es lineal o exponencial, etc.?

sieteVo1d

""Podemos ver fácilmente que la masa ganada será proporcional al volumen del agujero negro. No veo esto. ¿Cómo gana masa el agujero negro? Podría haber muchos mecanismos que conducen a diferentes ecuaciones. Por ejemplo, si la tasa de acreción está limitada por la luminosidad de Eddington, entonces dM/dt∼M"" Supongo que debería haber dicho que la masa ganada es proporcional al área de superficie de los agujeros negros. Cometí un gran error, creo. La relación debe ser sobre la masa del área de la superficie, no la masa del volumen...

esfera segura

Su pregunta es: " Ahora quiero encontrar que la masa ganada por el agujero negro por segundo ( $M(t)=?$ ) " Y la respuesta es, " Ahora supongamos que este agujero negro gana masa $m$ por segundo. "

sieteVo1d

Estaba buscando algún tipo de función. Dado que la masa ganada aumentará exponencialmente.

sieteVo1d

Edité un poco más.

probablemente_alguien

@ArthurMorgan Sus ediciones en realidad no abordan los problemas que se mencionaron en los comentarios. Escribiré una respuesta basada en la información disponible, y tal vez eso aclare las cosas.

probablemente_alguien

@ArthurMorgan Además, no veo tu razonamiento cuando dices que "la masa ganada aumentará exponencialmente".

sieteVo1d

Bueno, no tengo. Esa fue en realidad la "cosa" que estoy tratando de averiguar.

probablemente_alguien

@ArthurMorgan Y lo que le hemos estado diciendo es que no ha proporcionado suficiente información/supuestos para hacer eso.

sieteVo1d

Sí, estoy de acuerdo, tienes razón. Lo siento... Lo pensaré y luego escribiré algo.

Respuestas (1)

Ecuación de área de masa de agujero negro

En primer lugar, el volumen de un agujero negro no es una cantidad bien definida en general. Lo que está considerando es el volumen que parece encerrar el horizonte de sucesos de un agujero negro desde la perspectiva de un observador estacionario lejano. Segundo, $dM/dt$ depende de ambos $dV/dt$ y también $M$ o $V$ sí mismo. Para obtener una respuesta no trivial a esta pregunta, tendrá que restringir más su problema, eligiendo alguna forma para $dM/dt$ o $dV/dt$ (por ejemplo, podría exigir que $dM/dt$ es constante, o linealmente creciente, o alguna otra forma funcional).
Entonces, ¿es una buena aproximación usar la ecuación del volumen? Digamos $dM/dt$ aumenta linealmente. Estaba pensando que "podemos averiguar $dM/dt$ mediante el uso de estas ecuaciones.
No es una cuestión de una buena o mala aproximación, es solo que la cosa que llamaste $V$ aquí no es necesariamente el volumen de un agujero negro, porque el concepto de "el volumen de un agujero negro" en sí mismo no está bien definido. Puede elegir definirlo de esa manera, claro, pero mi punto era hacerle saber que está eligiendo definir $V$ como el volumen del agujero negro, y puede tener una expresión diferente bajo otras definiciones. En particular, puede que no se comporte como la cantidad que solemos llamar volumen.
En cualquier caso, si quieres "averiguar" $dM/dt$ , y quiere algo más que una respuesta trivial, entonces necesita darnos más información. Después de todo, no todos los agujeros negros de la misma masa y volumen adquirirán masa al mismo ritmo; algunos pueden estar rodeados de más polvo y gas que otros, por ejemplo. Para saber cuánta masa está ganando el agujero negro, debe saber la velocidad a la que se expande el "volumen" del agujero negro. Entonces, ¿cuál es esa tasa?
Podemos ver fácilmente que la masa ganada será proporcional al volumen del agujero negro. No veo esto. ¿Cómo gana masa el agujero negro? Podría haber muchos mecanismos que conducen a diferentes ecuaciones. Por ejemplo, si la tasa de acreción está limitada por la luminosidad de Eddington, entonces $dM/dt\sim M$ .
""Para calcular cuánta masa está ganando el agujero negro, debe saber la velocidad a la que se está expandiendo el "volumen" del agujero negro. Entonces, ¿cuál es esa tasa?" "Tomemos el agujero negro en la vía láctea. ¿Conocemos la tasa de cambio en el volumen del Sag A?. ¿O deberíamos suponer que es lineal o exponencial, etc.?
""Podemos ver fácilmente que la masa ganada será proporcional al volumen del agujero negro. No veo esto. ¿Cómo gana masa el agujero negro? Podría haber muchos mecanismos que conducen a diferentes ecuaciones. Por ejemplo, si la tasa de acreción está limitada por la luminosidad de Eddington, entonces dM/dt∼M"" Supongo que debería haber dicho que la masa ganada es proporcional al área de superficie de los agujeros negros. Cometí un gran error, creo. La relación debe ser sobre la masa del área de la superficie, no la masa del volumen...
Su pregunta es: " Ahora quiero encontrar que la masa ganada por el agujero negro por segundo ( $M(t)=?$ ) " Y la respuesta es, " Ahora supongamos que este agujero negro gana masa $m$ por segundo. "
Estaba buscando algún tipo de función. Dado que la masa ganada aumentará exponencialmente.
@ArthurMorgan Sus ediciones en realidad no abordan los problemas que se mencionaron en los comentarios. Escribiré una respuesta basada en la información disponible, y tal vez eso aclare las cosas.
@ArthurMorgan Además, no veo tu razonamiento cuando dices que "la masa ganada aumentará exponencialmente".
Bueno, no tengo. Esa fue en realidad la "cosa" que estoy tratando de averiguar.
@ArthurMorgan Y lo que le hemos estado diciendo es que no ha proporcionado suficiente información/supuestos para hacer eso.
Sí, estoy de acuerdo, tienes razón. Lo siento... Lo pensaré y luego escribiré algo.

probablemente_alguien · Answer 1

La cantidad $A$ es en realidad el área de la superficie del horizonte de eventos del agujero negro, visto desde un observador estacionario lejano; como tal, puede que no se comporte como la cantidad que tradicionalmente llamamos superficie.

si diferenciamos

A = \frac{dieciséis π {GRAMO}^{2} {METRO}^{2}}{C^{4}}

$A=\frac{16\pi G^2 M^2}{c^4}$

con respecto al tiempo, obtenemos

\frac{d A}{d t} = \frac{32 π {GRAMO}^{2} METRO}{C^{4}} \frac{d METRO}{d t}

$\frac{dA}{dt}=\frac{32\pi G^2 M}{c^4} \frac{dM}{dt}$

lo que nos dice que la tasa a la que crece el área superficial del horizonte de sucesos, $\frac{dA}{dt}$ , depende tanto de la masa actual $M$ del agujero negro y la velocidad a la que el agujero negro acumula masa, $\frac{dM}{dt}$ . Si conoce la velocidad a la que crece el área de la superficie del horizonte de eventos y conoce la masa del agujero negro, entonces puede determinar cuánta masa está acumulando el agujero negro. Si no conoce la tasa a la que crece el área de la superficie del horizonte de sucesos, tampoco sabe la tasa a la que crece la masa.

En cuanto a su afirmación de que la tasa de aumento de masa es proporcional al área de superficie del horizonte de sucesos, eso es incorrecto en varios aspectos. Para ver por qué, reordenemos la primera ecuación:

METRO = \frac{C^{2}}{4 GRAMO} \sqrt{\frac{A}{π}}

$M=\frac{c^2}{4G}\sqrt{\frac{A}{\pi}}$

y diferenciar con respecto al tiempo:

\frac{d METRO}{d t} = \frac{C^{2}}{8 GRAMO} \sqrt{\frac{1}{A π}} \frac{d A}{d t}

$\frac{dM}{dt}=\frac{c^2}{8G}\sqrt{\frac{1}{A\pi}}\frac{dA}{dt}$

Podemos ver, en primer lugar, que su afirmación es incompleta; la tasa de ganancia de masa depende tanto del área del horizonte de eventos como de la tasa a la que crece esa área, ninguna de las cuales es necesariamente constante. En segundo lugar, su afirmación de que la tasa de ganancia de masa es proporcional al área del horizonte de sucesos es incorrecta. Más bien, es proporcional a $\frac{1}{\sqrt{A}}$ . Si decimos que la tasa de ganancia de masa es $m$ y la tasa de crecimiento del área es $a$ , entonces podemos arreglar su declaración de la siguiente manera:

metro (A, a) = β \frac{a}{\sqrt{A}}

$m(A,a)=\beta\frac{a}{\sqrt{A}}$

Si tu quieres saber $M(t)$ , sin embargo, todo esto realmente no te está ayudando. Todo lo que necesitas encontrar $M(t)$ es $A(t)$ . Enchufar $A(t)$ en la primera ecuación y tienes $M(t)$ .

También encuentro otra cosa. Me gustaría compartir. ¿Debería editar mi publicación por eso?
@ArthurMorgan No tengo idea de lo que estás tratando de preguntar. Quizás hacer otra pregunta por separado sería más claro.
El primer párrafo dice $A$ es el área "como se ve desde un observador estacionario lejano". En realidad, es el área métrica, física y objetivamente correcta del horizonte, no un área aparente vista por alguien en particular. Ni siquiera depende de su elección de cortes espaciales, si el agujero se ha asentado y no está creciendo. (Los horizontes de eventos no se contraen en Lorentz).

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