¿Qué tiene de malo mi argumento para derivar el hamiltoniano en relatividad?

En la Relatividad General (y especial también) el Lagrangiano para una partícula de masa$m$en ausencia de fuerzas distintas de la gravedad es

$$L=m\sqrt{g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu}$$

dónde$U^\mu$es la velocidad de cuatro. En ese caso podemos derivar la cantidad de movimiento$p_\mu$por

$$p_\mu=\dfrac{\partial L}{\partial U^\mu}=\dfrac{\partial}{\partial U^\mu}m\sqrt{g_{\alpha\beta}U^\alpha U^\beta}$$

$$p_\mu=\dfrac{mg_{\alpha\beta}}{2\sqrt{g_{\alpha\beta}U^\alpha U^\beta}}\left(\delta^\alpha_\mu U^\beta+\delta^\beta_\mu U^\alpha\right)=\dfrac{mg_{\mu \alpha}U^\alpha}{\sqrt{g_{\alpha\beta} U^\alpha U^\beta}}$$

Si parametrizamos la línea de tiempo por tiempo adecuado$\tau$entonces$L(\gamma(\tau),\gamma'(\tau))=m$y obtenemos de la raíz cuadrada en el denominador que es justo$1$. Entonces

$$p_\mu= m g_{\mu\alpha}U^\alpha,$$

y estos son los componentes de un covector. Esto conduce directamente al impulso de cuatro vectores

$$p^\mu= m U^\mu.$$

Todo funciona aquí. Ahora quiero calcular la energía. Bueno, el hamiltoniano como siempre debería ser.

$$H=p_\mu U^\mu-m\sqrt{g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu}=m g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu-m\sqrt{g_{\mu \nu}U^\mu U^\nu}.$$

Pero si las cosas están parametrizadas por tiempo propio, cuando calculamos$H$en el camino, eso es$H(\gamma(\tau),\gamma'(\tau))$obtenemos cero!

Lo que esperaba era conseguir$H = p^0$.

¿Qué estoy haciendo mal aquí? ¿Por qué me sale cero?