Dos protones moviéndose en direcciones opuestas. Relatividad especial y electromagnetismo

Imagine dos protones moviéndose en direcciones opuestas con una velocidad$v$o$\beta c$, dónde$\beta = v/c$. En$t = 0$, son una distancia$r$aparte uno a lo largo de la misma línea (ver la imagen). Tengo problemas para derivar la relación exacta entre las fuerzas (o campos) eléctricos y magnéticos en este caso.

Fue bastante sencillo derivar esta relación en el caso de protones moviéndose. El ejemplo de la derivación se puede encontrar en la respuesta a la siguiente publicación:

Electromagnetismo relativista y fuerzas electromagnéticas sobre 2 protones .

El factor de conversión es$F_{magnetic} = \beta^2 F_{electric}$La única diferencia es que en mi caso uso explícitamente la transformación de fuerza total ($F_{\text{in stationary frame}} = F_{\text{in moving frame}} / \gamma$) en lugar de transformación de campos como se indica en la respuesta.

Ahora, cuando pasamos al problema de las cargas que se mueven en sentido opuesto, la dirección de la fuerza magnética se invierte y será repulsiva, ya que al invertir la dirección de uno de los protones, invertimos la dirección del campo magnético creado por él.

Mi solución es entonces la siguiente:

1) Pasamos al marco de reposo del (digamos) protón inferior, al que nos referimos como primero. En su propio marco no siente fuerza magnética ya que está estacionario. Por lo tanto, la fuerza sobre él$F^{'}_{tot} = F^{'}_{el} = e E^{'}$(donde E^{'} es el campo creado por el protón superior).

Para encontrar ese campo, primero necesitamos encontrar la velocidad del segundo protón (superior) en el marco de reposo del primero. De la suma relativista de velocidades obtenemos:

$$v_{e_2}^{'} = \frac{-v - v}{1 - \frac{-vv}{c^2}} = \frac{-2v}{1 +\frac{v^2}{c^2}}.$$

Eso lleva a:

$$\gamma^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - v_{e_2}^{'2}/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4v^2}{(1+v^2/c^2)^2c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4\beta^2}{(1+\beta^2)^2}}}.$$

Ahora encontremos el campo que actúa sobre el primer protón del segundo en el marco de referencia del primer protón. En el marco de reposo del segundo protón, el campo es simplemente$E_{rest} = k e / r^2$. Dado que se mueve en el marco del primer protón, el primer protón sentirá una componente de campo perpendicular de:$E^{'} = \gamma^{'}E_{rest}$. Entonces:

$$F^{'}_{tot} = F^{'}_{el} = e\gamma^{'}E_{rest}.$$

2) En el marco del laboratorio (donde ambos protones se mueven con velocidad$v$en direcciones opuestas) la fuerza total sobre el primer protón será

$$F_{tot_{lab}} = F_{tot}{'}/ \gamma = e\frac{\gamma^{'}}{\gamma}E_{rest} , \,\, \text{where} \,\, \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

donde la fuerza eléctrica que actúa sobre el primer protón desde el segundo será

$$F_{el_{lab}} = e E_{lab} = e \gamma E_{rest}$$ .

3) Como sabemos que tanto las fuerzas magnéticas (por las consideraciones iniciales) como las eléctricas serán repulsivas, entonces:

$$F_{mag_{lab}} = F_{tot_{lab}} - F_{el_{lab}} = e\frac{\gamma^{'}}{\gamma}E_{rest} - e \gamma E_{rest} = F_{el_{lab}} \left( \frac{ \gamma^{'} }{\gamma^2} -1 \right).$$

4) Por el resultado de dos protones moviéndose en la misma dirección, sabemos que el factor debe ser$\beta^2$, por lo tanto, debe ser que:

$$\left( \frac{ \gamma^{'} }{\gamma^2} -1 \right) = \frac{1-\beta^2}{\sqrt{1 - \frac{4\beta^2}{(1+\beta^2)^2}}} -1 == \beta^2$$

Al intentar reducir el lado derecho llego a$-\sqrt{\beta^2 + 1}$en lugar de$\beta^2$. Incluso traté de usar la ayuda de las funciones de simplificación de expresiones de SymPy, pero el mismo resultado. ¿Me he equivocado en el razonamiento o en la simplificación de la expresión final?

PS Aquí, el factor de conversión entre las fuerzas se deriva asumiendo explícitamente la forma de campo magnético. . Pero me interesa cómo se puede derivar usando la relatividad.

EDITAR: Fue solo un error molesto en los cálculos. Todo funciona.