Electromagnetismo relativista y fuerzas electromagnéticas sobre 2 protones

Respuesta corta:

La fuerza no es un invariante de Lorentz y tampoco lo es la aceleración. Los protones siempre se repelen entre sí, con una fuerza que combina las componentes eléctrica y magnética de la fuerza de Lorentz y depende del marco de referencia del observador, pero que se maximiza en su marco de reposo y se aproxima a cero a medida que los protones se vuelven ultra- relativista.

Detalles:

Exactamente su pregunta se trata en Purcell & Morin "Electricity & Magnetism" 3rd ed. pág.264.

El problema que puede tener es pensar que la fuerza es un invariante relativista, no lo es.

Los campos eléctricos y magnéticos se transforman al mirarlos desde un marco de referencia diferente.

En el marco estacionario de los protones, entonces solo existe la repulsión de Coulomb entre ellos dada por

$$F_{\rm rest} = e\vec{E}_{\rm rest} = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat{r} ,$$ dónde $\vec{E}_{\rm rest}$es el campo E de un protón estacionario.

En el marco de laboratorio, el campo eléctrico en la dirección entre los dos protones se incrementa por el factor de Lorentz a$\vec{E}_{\rm lab} =\gamma \vec{E}_{\rm rest}$, dónde$\gamma = (1-v^2/c^2)^{-1/2}$y donde$\gamma \geq 1$. Al mismo tiempo, hay un campo magnético causado por el movimiento de los protones y esto contribuye con una fuerza$e \vec{v} \times \vec{B}_{\rm lab}$, dónde$\vec{B}_{\rm lab}$es el campo B medido en el marco de laboratorio.

El campo B de laboratorio se encuentra usando la transformada apropiada como

$$\vec{B}_{\rm lab} = -\frac{\gamma}{c^2} \vec{v} \times \vec{E}_{\rm rest}$$

Por lo tanto, la fuerza entre los protones en el marco del laboratorio es

$$F_{\rm lab} = e(\vec{E}_{\rm lab} + \vec{v}\times \vec{B}_{\rm lab}) = e (\gamma \vec{E}_{\rm rest} - \frac{\gamma v^2}{c^2} \vec{E}_{\rm rest}) = \frac{e \vec{E}_{\rm rest}}{\gamma} = \frac{F_{\rm rest}}{\gamma}.$$ Esto es exactamente lo que requieren las reglas para transformar fuerzas bajo la relatividad especial. La fuerza que actúa entre los dos protones es menor en el marco del laboratorio y se aproxima a cero a medida que los protones se vuelven más y más relativistas.

Si lo dispuso de modo que sus haces de protones viajaran en líneas paralelas, también debe haber dispuesto que alguna fuerza actúe en la dirección opuesta a la repulsión mutua del protón. Esta fuerza se transformaría exactamente de la misma manera, de modo que si no hubiera aceleración neta en el sistema de laboratorio, tampoco habría aceleración neta en el sistema de reposo de protones.

Siento que te estás perdiendo las fórmulas relativistas para los campos electromagnéticos esparcidos por cargas en movimiento uniforme. Estos se pueden encontrar como fórmulas (1538), (1539) en este enlace .

En este caso, la velocidad de las cargas en movimiento importa en ambos marcos en movimiento, por lo que debería obtener los mismos fenómenos físicos.

Ahora bien, esto se contradice por completo. ¿Tiene esto algo que ver con los efectos de la dilatación del tiempo y la contracción del espacio? Y si es así, ¿cómo?

Las fuerzas son diferentes en marcos diferentes, y eso no es un problema. Si la fuerza fuera cero en algún marco y distinta de cero en otro marco, eso sería un problema, pero afortunadamente hay una fuerza repulsiva entre esos dos protones en todos los marcos.

En el marco del par de protones, los protones tardan un tiempo en separarse una cierta distancia. En otro marco que el tiempo es más largo, este es el efecto de dilatación del tiempo. Si los protones se mueven muy rápido, entonces la fuerza entre ellos es muy pequeña y les toma mucho tiempo a los protones moverse una cierta distancia.

En el caso de 2 partículas cargadas iguales de carga$e$(como el protón) en reposo en un marco de referencia, su fuerza mutua es, de acuerdo con la ley de Colomb, la conocida fórmula (en unidades SI):$F=\frac{e^2}{4\pi \epsilon r^2}$

$r$es la distancia entre ambos, y$\epsilon$la constante de dielectricidad del medio. Si ambas partículas se mueven con velocidad$v$si se observa desde otro marco de referencia, su fuerza (a continuación se consideran tanto la fuerza eléctrica como la magnética) es

$F=\frac{e^2}{4\pi \epsilon r^2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)$(a multiplicar por$\times\gamma$, vea abajo)

dónde$c$es la velocidad de la luz. Si$v=0$se recupera la antigua ley de Colomb. Por otro lado, en caso de que ambos protones se muevan a la velocidad de la luz$c$la fuerza entre es cero. En otras palabras: a la velocidad de la luz, la fuerza eléctrica de Colomb y la fuerza magnética de Lorentz se cancelan entre sí (en este caso particular). Así es como funciona la electrodinámica. La contracción de la longitud solo ocurre en la dirección del movimiento que es perpendicular a la dirección de la fuerza, no juega ningún papel aquí. Podrías imaginar que debido a la dilatación del tiempo, que es infinita a la velocidad de la luz, que la repulsión está congelada, encaja con la visión intuitiva que uno podría tener sobre este efecto. Se puede encontrar una derivación de estas fórmulas en los libros de texto estándar, Jackson, por ejemplo.

Editar: Aparentemente, la segunda fórmula debe corregirse por un factor$\gamma$. Entonces resulta ser$F=\frac{e^2}{4\pi \epsilon r^2}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$Sin embargo, la argumentación cualitativa no cambia.