Expresar B⃗ B→\vec{B} y E⃗ E→\vec{E} en componentes tensoriales

Los campos electrico y magnetico$\vec{E}$y$\vec{B}$pueden verse como componentes de un tensor antisimétrico de rango 2 (una forma 2) llamado tensor de campo electromagnético, y generalmente denotado$F$. Definimos el tensor de campo electromagnético en términos de la derivada exterior de una forma:$F=dA$. En términos de componentes, esto es:$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$para el espacio-tiempo de Minkowski. El campo eléctrico, en coordenadas cartesianas, se puede expresar como$E_i = cF_{0i}$(la convención aquí es que las letras latinas se ejecutan sobre índices similares al espacio, y las letras griegas se ejecutan sobre los 4 índices de espacio-tiempo) y el campo magnético es$B_i=-\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F^{jk}$y$\epsilon_{ijk}$es el tensor (único hasta la mano) completamente antisimétrico de rango 3.

El lagrangiano para un campo electromagnético clásico libre es

La afirmación es que estas dos relaciones dan lugar a las ecuaciones de Maxwell gratuitas que publicó en el OP sin la presencia de fuentes (si desea la fuente, par$A_{\mu}$a$j^{\mu}$y agregue el término en$\mathcal L$). el factor de$-1/4$a nivel del lagrangiano asegura la correcta normalización de las ecuaciones de OP. Lo anterior es la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell, pero veo que al leer su pregunta nuevamente, quería derivar los componentes de$\mathbf E$y$\mathbf B$de las ecuaciones de Maxwell.

De Maxwell's I y III, ves que puedes escribir

A partir de estas relaciones se puede derivar la matriz explícita de los campos E y B:

La Relatividad Especial se basa en dos postulados: (i) las leyes de la física tienen la misma estructura matemática en todos los marcos de referencia inerciales; y (ii) la velocidad medida de la luz en el vacío es igual a$c$en todos los marcos inerciales. Estos dos postulados son la base de nuestra mejor descripción actual del espacio-tiempo siempre que se pueda ignorar la gravedad.

Las ecuaciones de Maxwell están naturalmente en concordancia con los postulados anteriores, pero esto no es obvio a primera vista cuando se escriben en forma vectorial (en realidad, vectores 3d o 3-vectores). Esto es así porque los 3-vectores no se comportan adecuadamente bajo las transformaciones de coordenadas que relacionan diferentes marcos inerciales en relatividad especial, las llamadas transformaciones de Lorentz . Por otro lado, los vectores de cuatro componentes, o simplemente vectores de 4, se comportan bien bajo las transformaciones de Lorentz. Un vector de 4$\mathbf{a}=(a_0,a_1,a_2,a_3)$se transforma como$\mathbf{a}^\prime=\Lambda\, \mathbf{a}$, dónde

es la matriz de transformación de Lorentz que relaciona dos marcos de referencia inerciales con velocidad relativa$v$a lo largo de$x$eje, y donde hemos escrito los 4-vectores$\mathbf{a}^\prime$y$\mathbf{a}$como columna$1\times 4$matrices para simplificar la notación. La ley de transformación para$\mathbf{a}$se puede escribir en notación de índice como

dónde$a^\mu$es el$\mu$-ésima componente del 4-vector$\mathbf{a}$y$\Lambda^\mu{}_\nu$el elemento de la matriz de transformación de Lorentz$\Lambda$en el$\mu$-ésima línea y$\nu$-ésima columna.

En nuestro caso, ejemplos importantes de 4 vectores incluyen el operador derivado$\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \left(\frac{\partial}{\partial x^0},\frac{\partial}{\partial x^1},\frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3} \right) \equiv \left( \frac{\partial}{c\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$, el 4-corriente$J^\mu=(J^0,J^1,J^2,J^3)\equiv(c\rho,J_x,J_y,J_z)$, y el 4-potencial$A^\mu=(A^0,A^1,A^2,A^3) \equiv \left(\frac{\phi}{c},A_x,A_y,A_z\right)$. Estas definiciones son muy naturales si observa que la transformación de Lorentz en 4 vectores mezcla un componente "temporal" y tres espaciales, por lo tanto, en la construcción de un 4 vector buscamos una cantidad para ingresar en la "ranura temporal" y tres para la " ranuras espaciales".

Avanzando, los campos$\vec{E}$y$\vec{B}$Claramente, cada uno no puede ser parte de un vector de 4 porque cada uno tiene 3 componentes, mientras que un vector de 4 tiene 4 (demasiados). Un vector de 4 se puede considerar como una columna$1\times 4$matriz, por lo que la siguiente estructura matemática que podríamos probar es una$4\times 4$matriz (tensor de segundo rango), pero tiene 16 componentes. Por otro lado, un antisimétrico $4\times 4$matriz tiene exactamente 6 elementos linealmente independientes. Si llamamos a tal matriz$F$, entonces$F^\text{T}=-F$o, en notación de índice,$F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}.$Tal matriz se transforma muy bien bajo la transformación de Lorentz:

Por lo tanto, ve naturalmente los componentes de$\vec{E}$y$\vec{B}$constituirá dicha matriz. Pero, ¿cómo exactamente? El primer postulado de la Relatividad Especial exige que las ecuaciones de Maxwell tengan la misma estructura en todos los marcos, y tienen esta propiedad, pero para que esto sea obviamente cierto, necesitamos reescribirlas en términos de 4-vectores y tensores de segundo rango ($4\times 4$matrices), o cualquier otra cosa que se transforme correctamente bajo las transformaciones de Lorentz ( por ejemplo , tensores de rango superior). Intentemos hacer eso primero notando la ley de Gauss,

se puede obtener de la ecuación matricial

La matriz lineal derivada (4-vectores) multiplicada por la primera columna de la$4\times 4$matriz (tensor de segundo rango) es igual al primer elemento de la matriz lineal en el lado izquierdo de la igualdad (que se identificará como parte de la corriente 4), y eso de hecho da la ley de Gauss. Esta última ecuación muestra cuáles son las ubicaciones de los componentes de$\vec{E}$en la matriz$F$(que, hasta ahora, no se conoce por completo). La antisimetría de$F$impone la diagonal de fuga y las componentes de$\vec{E}$escrito en su primera línea arriba.

Veamos la ley de Ampère-Maxwell:

Es$x$el componente es

y se puede obtener de

Cuando la matriz derivada actúa sobre la segunda columna de la$4\times 4$matriz es igual al segundo elemento de la matriz de línea en el lado izquierdo de la igualdad, dando el$x$componente de la ley de Ampère-Maxwell. Eso revela las ubicaciones de$B_y$y$B_z$en$F$. Aviso$\rho$ahora viene con un factor de$\mu_o c$, en lugar del anterior$1/\varepsilon_0$, y la razón es para compensar los componentes de$\vec{E}$que ahora se dividen por$c$(recordar$\mu_0 \varepsilon_0=1/c^2$). Con procedimientos análogos para la$y$y$z$componentes, concluimos que las leyes de Gauss y Ampère-Maxwell pueden escribirse como una única ecuación matricial:

Finalmente identificamos la matriz del campo electromagnético$F$ser la transpuesta de lo anterior$4\times 4$matriz,

sus elementos$F^{\mu\nu}$son$F^{01}=E_x/c$,$F^{02}=E_y/c$,$F^{03}=E_z/c$,$F^{12}=B_z$,$F^{13}=-B_y$, y$F^{23}=B_x$. Los demás elementos se obtienen a partir de su antisimetría.$F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$.

Finalmente, la ecuación matricial que abarca las ecuaciones de Gauss y Ampère-Maxwell se puede escribir en notación de índice como$\partial_\nu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\mu.$Debido a que esto se escribe únicamente en términos de 4 vectores y tensores de segundo rango, en un marco inercial diferente se escribe como$\partial^\prime_\nu F^\prime{}^{\mu\nu} = \mu_0 J^\prime{}^\mu$. Por lo tanto, el primer postulado de la Relatividad Especial obviamente se cumple.

Podemos definir la matriz electromagnética dual$G$por reemplazo$\vec{E}$por$\vec{B}$, y$\vec{B}$por$-\vec{E}/c$en la matriz$F$. Esta definición conduce a las otras dos ecuaciones de Maxwell,$\nabla \cdot \vec{B} = 0$y$\nabla \times \vec{E} = - \partial \vec{B}/\partial t,$cuando comprobamos los componentes de$\partial_\nu G^{\mu\nu} = 0.$

El segundo postulado de la Relatividad Especial también es satisfecho naturalmente por la electrodinámica. en el vacío,$\vec{E}$y$\vec{B}$satisface la ecuación de onda,$\square \vec{E}=0$y$\square \vec{E}=0$, dónde$\square\equiv\frac{1}{c^2}-\nabla^2$. En términos de$F$, tenemos$\square F^{\mu\nu}$. Porque$\square=\square^\prime$, las ondas electromagnéticas se propagan con velocidad$c$en todos los marcos inerciales.

Por fin, una vez que sabemos cuáles son los elementos$F^{\mu\nu}$de$F$, es sencillo comprobar que los elementos$F^{\mu\nu}$se relaciona con los componentes$A^\mu$del potencial 4 por$F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$, que solo da la relación entre campos y potenciales,$\vec{E}=-\nabla \phi -\partial \vec{A}/\partial t$y$\vec{B}=\nabla \times \vec{A}.$