Fuerza magnética bajo cambio de referencia: ¿Se mantienen las ecuaciones de Maxwell?

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Fuerza magnética bajo cambio de referencia: ¿Se mantienen las ecuaciones de Maxwell?

PersonaConNombre

Supongamos que tengo un campo magnético uniforme en todo el espacio.

B (X, y, z) = \hat{z}

$\textbf{B}(x,y,z)=\hat{\textbf{z}}$ y un cargo

q

$q$ moviéndose a una velocidad de

v \hat{x}

$v\hat{\textbf{x}}$ . En este marco de referencia, una fuerza magnética actuará sobre

q

$q$ , empujándolo hacia arriba (o hacia abajo, pero supongamos que hacia arriba). Supongamos que cambio mi marco de referencia para que

q

$q$ es estacionario en el origen. En este marco de referencia, no hay fuerza para actuar sobre

q

$q$ y no debe moverse. Naturalmente, esto parece inconsistente.

La explicación normal que se da para esto por lo que he visto es que el campo magnético cambia a un campo eléctrico al cambiar de referencia, de modo que todavía hay una fuerza en el segundo marco de referencia y los resultados concuerdan. Sin embargo, tengo algunos problemas con esto:

Esto no explica la fuente de la $\textbf{E}$ campo en el segundo cuadro. ¿De dónde viene? De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, $\textbf{E}$ Los campos solo pueden ser producidos por campos magnéticos o cargas que varían en el tiempo. No hay cargos (aparte de $q$ ) y sin campos magnéticos variables en el tiempo en ninguno de los marcos de referencia, por lo que las ecuaciones de Maxwell parecen predecir un campo eléctrico cero en cualquier caso. ¿Me equivoco al decir que las ecuaciones de Maxwell deben cumplirse en todos los marcos de referencia inerciales? ¿Cómo se satisfarían ambas ecuaciones de Maxwell y se obtendrían los mismos resultados tras la transformación al segundo marco de referencia?

Incluso ignoremos las ecuaciones de Maxwell. Aquí hay otra razón por la que parece inconsistente: ¿Qué pasaría si comenzáramos nuestro análisis en el segundo marco de referencia, donde $q$ es estacionario? En este marco, no esperamos $q$ para moverse hacia arriba. Luego, presumiblemente, después de transformar el $\textbf{E}$ y $\textbf{B}$ campos en el primer marco de referencia, aún debería ver el mismo resultado (sin movimiento hacia arriba). Entonces, al explicar el problema como "las transformaciones de Lorentz hacen $\textbf{B}$ en $\textbf{E}$ " no parece ser suficiente, también podría hacer el análisis al revés y obtener resultados contradictorios.

Tal vez podría argumentar que debido a la simetría última del campo, no hay forma de distinguir ningún movimiento de la carga, por lo que no tiene sentido hablar de esto. Esto se siente como una evasión para mí. También parecería ser fácilmente evadido, ya que, ¿y si solo definiera $\textbf{B}$ ser cero fuera de $(-\infty,\infty)\times[-1,1]$ ? En este caso, se notaría cualquier movimiento ascendente de la carga, y seguimos con el mismo problema con el que comenzamos.

EDITAR: Con respecto a la fuente original de $\textbf{B}$ , digamos que es creado por un solenoide grande o dos imanes permanentes para que $\textbf{B}$ es aproximadamente uniforme en la región de interés. Un finito $\textbf{B}$ campo como este creará inducido $\textbf{E}$ campos en las franjas cuando se mueve, pero esto no debería afectar la región uniforme local.

una mente curiosa

"Esto no explica la fuente de la $E$ campo en el segundo marco". - No ha proporcionado una fuente para el

B

$B$ campo en el primer cuadro, tampoco! Porque es el

B

$B$ campo permitió existir mágicamente, pero el

E

$E$ campo no es?

PersonaConNombre

Ok, digamos que es creado por dos imanes permanentes infinitamente largos. O simplemente considere el límite a medida que la longitud de los dos imanes permanentes se acerca al infinito. Todo lo que requiere mi argumento es la simetría del campo magnético a lo largo del eje x, de modo que no haya campos E inducidos en ninguno de los marcos de referencia.

PersonaConNombre

De hecho, sospecho que el argumento incluso funcionaría con un solenoide lo suficientemente grande como para que

B

$\textbf{B}$ es aproximadamente uniforme en el área de interés. Cualquier inducido

E

$\textbf{E}$ campos debido a

B

$\textbf{B}$ cambiar en los márgenes de una región en movimiento no debería afectar la región local de aprox. uniforme

B

$\textbf{B}$ campo.

Remolino

Tenga en cuenta que las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales y puede agregar una constante

E

$E$ o

B

$B$ campo a cualquier solución y seguirá siendo una solución. Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell no predicen

E = 0

$E=0$ como dices, simplemente predicen

E

$E$ constante en el espacio y el tiempo.

usuario65081

si tiene un imán, el imán se mueve en el marco de referencia en el que la carga está en reposo, generando así un campo eléctrico

Respuestas (3)

Fuerza magnética bajo cambio de referencia: ¿Se mantienen las ecuaciones de Maxwell?

"Esto no explica la fuente de la $E$ campo en el segundo marco". - No ha proporcionado una fuente para el $B$ campo en el primer cuadro, tampoco! Porque es el $B$ campo permitió existir mágicamente, pero el $E$ campo no es?
Ok, digamos que es creado por dos imanes permanentes infinitamente largos. O simplemente considere el límite a medida que la longitud de los dos imanes permanentes se acerca al infinito. Todo lo que requiere mi argumento es la simetría del campo magnético a lo largo del eje x, de modo que no haya campos E inducidos en ninguno de los marcos de referencia.
De hecho, sospecho que el argumento incluso funcionaría con un solenoide lo suficientemente grande como para que $\textbf{B}$ es aproximadamente uniforme en el área de interés. Cualquier inducido $\textbf{E}$ campos debido a $\textbf{B}$ cambiar en los márgenes de una región en movimiento no debería afectar la región local de aprox. uniforme $\textbf{B}$ campo.
Tenga en cuenta que las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales y puede agregar una constante $E$ o $B$ campo a cualquier solución y seguirá siendo una solución. Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell no predicen $E=0$ como dices, simplemente predicen $E$ constante en el espacio y el tiempo.
si tiene un imán, el imán se mueve en el marco de referencia en el que la carga está en reposo, generando así un campo eléctrico

j murray · Answer 1

Usted alega que la ausencia de cargos o variaciones en el tiempo $\mathbf B$ campos implica que el $\mathbf E$ campo es cero, pero esto solo es cierto si agregamos la condición de contorno que $\mathbf E=0$ en el infinito espacial. La existencia de una constante, uniforme $\mathbf E$ campo es perfectamente consistente con las ecuaciones de Maxwell, precisamente de la misma manera que su inicial $\mathbf B$ campo es.

En cualquier situación real , por supuesto, su $\mathbf B$ El campo será generado por fuentes de alguna descripción y no será constante ni espacialmente uniforme. Por lo tanto, el observador en el marco de reposo de la partícula verá una variación en el tiempo $\mathbf B$ campo y un inducido $\mathbf E$ campo. Las ecuaciones de Maxwell se conservan y no hay contradicción entre los observadores.

Futurólogo · Answer 2

Necesitas mirar las matemáticas de este problema en particular. Nos limitamos a la interpretación clásica. Tengamos un sistema de coordenadas inercial $O\hat{x}\hat{y}\hat{z}$ y en él - un campo magnético constante $\vec{B}$ dirigido a lo largo del eje vertical $O\vec{z}$ . Usted sugiere que el campo magnético está descrito por el vector unitario de base vertical $\vec{B} = \hat{z}$ .

Además, tienes una partícula $Q$ de cargo $q$ y masa $m=1$ (para simplificar) moviéndose en el campo magnético con velocidad inicial $\vec{v}(0) = v_0\, \hat{x}$ . Por $\, \vec{r} = \vec{r}(t) = x(t)\, \hat{x} + y(t) \, \hat{y} + z(t) \, \hat{z}$ denote el vector de posición de la partícula $Q$ en el momento $t$ .

La ley de movimiento de Lorentz establece que la posición de la partícula $\vec{r} = \vec{r}(t)$ cambia con el tiempo $t$ según el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden

\begin{aligned} \frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}} = q \frac{d \vec{r}}{d t} \times \vec{B} = q \frac{d \vec{r}}{d t} \times \hat{z} \\ \frac{d \vec{r}}{d t} (0) = v_{0} \hat{X} \\ \vec{r} (0) = {\vec{r}}_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}\, = \, q\frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{B}\, = \, q\frac{d \vec{r}}{dt} \times \hat{z}\\ & \frac{d \vec{r}}{dt}(0)\, =\, v_0 \,\hat{x}\\ & \vec{r}(0) = \vec{r}_0 \end{align}$ Ahora, observe que de acuerdo con la ley de Lorentz, cuando la velocidad de una partícula es cero, es decir,

\frac{d \vec{r}}{d t} = \vec{0}

$\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{0}$ , entonces la fuerza de Lorentz

q \frac{d \vec{r}}{d t} \times \vec{B} = \vec{0}

$q\frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{B} = \vec{0}$ por lo que dicha partícula es estacionaria, es decir, ninguna fuerza actúa sobre ella.

A continuación, cambia del sistema de coordenadas inercial original $O\hat{x}\hat{y}\hat{z}$ a un sistema de coordenadas no inercial $Q\hat{x}\hat{y}\hat{z}$ con origen en la partícula cargada en movimiento $Q$ y ejes de coordenadas, digamos, manteniéndose siempre paralelos a los ejes de $O\hat{x}\hat{y}\hat{z}$ . Indicar la posición de cualquier objeto en el sistema no inercial $Q\hat{x}\hat{y}\hat{z}$ por $\vec{R} = \vec{R}(t) = X(t)\, \hat{x} + Y(t) \, \hat{y} + Z(t) \, \hat{z}$ . Entonces el cambio de coordenadas viene dado por la fórmula vectorial

\vec{r} = \vec{R} + \vec{a}

$\vec{r} = \vec{R} + \vec{a}$ dónde

\vec{a} = \vec{a} (t)

$\vec{a} = \vec{a}(t)$ es la posición de la partícula

Q

$Q$ en el momento

t

$t$ con respecto a

O \hat{x} \hat{y} \hat{z}

$O\hat{x}\hat{y}\hat{z}$ . Entonces

\vec{a} = \vec{a} (t)

$\vec{a} = \vec{a}(t)$ satisface las ecuaciones

\frac{d^{2} \vec{a}}{d t^{2}} = q \frac{d a}{d t} \times \vec{B}

$\frac{d^2\vec{a}}{dt^2} = q \frac{da}{dt} \times \vec{B}$ En consecuencia, nos gustaría representar la ley de Lorentz en el nuevo sistema de coordenadas

Q \hat{x} \hat{y} \hat{z}

$Q\hat{x}\hat{y}\hat{z}$ .,

Primero, diferenciando el cambio de coordenadas $\vec{r} = \vec{R} + \vec{a}$ con respecto al tiempo $t$ , encuentra eso

\frac{d \vec{r}}{d t} = \frac{d \vec{R}}{d t} + \frac{d \vec{a}}{d t}

$\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{R}}{dt} + \frac{d\vec{a}}{dt}$ y diferenciando una vez más obtenemos

\frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}} = \frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} + \frac{d^{2} \vec{a}}{d t^{2}}

$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{d^2\vec{R}}{dt^2} + \frac{d^2\vec{a}}{dt^2}$ En segundo lugar, la ley de Lorentz da

\begin{aligned} \vec{0} & = \frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}} - q \frac{d \vec{r}}{d t} \times \vec{B} = \frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} + \frac{d^{2} \vec{a}}{d t^{2}} - q (\frac{d \vec{R}}{d t} + \frac{d \vec{a}}{d t}) \times \vec{B} = \\ = \frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} + \frac{d^{2} \vec{a}}{d t^{2}} - q \frac{d \vec{R}}{d t} \times \vec{B} - q \frac{d \vec{a}}{d t} \times \vec{B} = \\ = \frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} - q \frac{d \vec{R}}{d t} \times \vec{B} + (\frac{d^{2} \vec{a}}{d t^{2}} - q \frac{d \vec{a}}{d t} \times \vec{B}) = \\ = \frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} - q \frac{d \vec{R}}{d t} \times \vec{B} + \vec{0} = \\ = \frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} - q \frac{d \vec{R}}{d t} \times \vec{B} \end{aligned}

$\begin{align} \vec{0} &= \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} \, - \, q\frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{B} = \frac{d^2\vec{R}}{dt^2} + \frac{d^2\vec{a}}{dt^2} \, -\, q\left(\frac{d\vec{R}}{dt} + \frac{d\vec{a}}{dt}\right)\times \vec{B} = \\ &= \frac{d^2\vec{R}}{dt^2} + \frac{d^2\vec{a}}{dt^2} \, -\, q\frac{d\vec{R}}{dt} \times \vec{B} \, - \, q\frac{d\vec{a}}{dt}\times \vec{B} = \\ &= \frac{d^2\vec{R}}{dt^2} \, -\, q\frac{d\vec{R}}{dt} \times \vec{B} \, + \,\left(\frac{d^2\vec{a}}{dt^2} \, - \, q\frac{d\vec{a}}{dt}\times \vec{B} \right) =\\ & = \frac{d^2\vec{R}}{dt^2} \, -\, q\frac{d\vec{R}}{dt} \times \vec{B} \, + \, \vec{0} = \\ & = \frac{d^2\vec{R}}{dt^2} \, -\, q\frac{d\vec{R}}{dt} \times \vec{B} \end{align}$ Así, la ley de Lorentz en el marco de referencia no inercial

Q \hat{x} \hat{y} \hat{z}

$Q\hat{x}\hat{y}\hat{z}$ es

\frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} = q \frac{d \vec{R}}{d t} \times \vec{B}

$\frac{d^2\vec{R}}{dt^2} \, = \, q\frac{d\vec{R}}{dt} \times \vec{B}$ que es exactamente igual a la ley de Lorentz en el marco de referencia inercial

O \hat{x} \hat{y} \hat{z}

$O\hat{x}\hat{y}\hat{z}$ . Sin embargo, en el marco no inercial, la partícula

Q

$Q$ es estacionario, es decir, su velocidad es cero. Y como se observa, siempre que la velocidad

\frac{d \vec{R}}{d t} = \vec{0}

$\frac{d\vec{R}}{dt} = \vec{0}$ , la fuerza de Lorentz de la forma

q \frac{d \vec{R}}{d t} \times \vec{B} = \vec{0}

$q\frac{d\vec{R}}{dt} \times \vec{B} = \vec{0}$ , por lo que la trayectoria de

Q

$Q$ debe ser un punto fijo (más precisamente, el origen del sistema de coordenadas) en el sistema no inercial. Como puede ver, no hay evidencia de un campo eléctrico en el sistema de coordenadas no inercial.

Ahora, si introduce un sistema de coordenadas no inercial adjunto en $Q$ , que gira y gira alrededor $Q$ , entonces las cosas cambian sustancialmente. Entonces, las fuerzas ficticias del sistema no inercial podrían manifestarse como un término adicional a la fuerza del campo magnético y podrían desempeñar el papel de un campo eléctrico en la ley de Lorentz.

\frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}} = q \vec{mi} (\vec{r}, t) + q \frac{d \vec{r}}{d t} \times \vec{B} (\vec{r}, t)

$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = q\vec{E}(\vec{r}, t) + q\frac{d\vec{r}}{dt}\times \vec{B}(\vec{r}, t)$

armando.sano · Answer 3

si B es constante en todo el espacio y se dirige a lo largo de z , su partícula no experimenta una fuerza hacia arriba, pero girará en el plano xy . Si vas al marco de referencia de movimiento conjunto, la partícula es estática, ya que te mueves junto con ella. En ese marco no hay movimiento, por lo tanto, no hay fuerza, que sea consistente. Si B no es constante en todo el espacio, cambiar a un marco de referencia con movimiento conjunto le hará ver una variación de B con el tiempo, lo que en particular puede generar un campo eléctrico en ese marco de referencia (ley de inducción de Faraday).

Lo que describiste no es consistente. Si una partícula experimenta un movimiento circular en un marco de referencia inercial, pero está estacionaria en otro marco de referencia inercial, entonces eso es una contradicción. La transformación entre marcos de referencia inerciales no puede hacer desaparecer la aceleración.
@PersonWithName No quise decir un marco de referencia inercial, sino un marco de referencia de movimiento conjunto (acelerado). Sin embargo, es cierto que no estoy 100% seguro de cómo cambian B y E cuando entras en un cuadro acelerado. Ha pasado demasiado tiempo desde que vi esto

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