¿Por qué el sistema de fuerza de Lorentz es independiente?

El 3-vector de la fuerza de Lorentz solo es independiente del marco bajo una transformación de Galileo . Por ejemplo, suponga que traduce a un nuevo marco que se mueve a$\mathbf{V}_{o}$en relación con el marco original, entonces los vectores transformados serían:

$$\begin{align} \mathbf{E}' & = \mathbf{E} + \mathbf{V}_{o} \times \mathbf{B} \tag{0a} \\ \mathbf{B}' & = \mathbf{B} \tag{0b} \\ \mathbf{v}' & = \mathbf{v} - \mathbf{V}_{o} \tag{0c} \end{align}$$ Si luego los ponemos en la fuerza de Lorentz encontramos: $$\begin{align} \mathbf{F}' & = q \left[ \mathbf{E}' + \mathbf{v}' \times \mathbf{B}' \right] \tag{1a} \\ & = q \left[ \left( \mathbf{E} + \mathbf{V}_{o} \times \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{v} - \mathbf{V}_{o} \right) \times \mathbf{B} \right] \tag{1b} \\ & = q \left[ \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right] \tag{1c} \end{align}$$

Bajo una transformación de Lorentz adecuada , la fuerza de Lorentz de 3 vectores y 4 vectores no es independiente del marco. Los 3 vectores del campo eléctrico y magnético (en unidades cgs ahora) se transforman como:

$$\begin{align} \mathbf{E}' & = \gamma \left( \mathbf{E} + \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{B} \right) - \frac{ \gamma^{2} }{ \gamma + 1 } \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \left( \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \cdot \mathbf{E} \right) \tag{2a} \\ \mathbf{B}' & = \gamma \left( \mathbf{B} - \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{E} \right) - \frac{ \gamma^{2} }{ \gamma + 1 } \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \left( \frac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \cdot \mathbf{B} \right) \tag{2b} \end{align}$$ mientras que la velocidad de 3 vectores se transforma de acuerdo con la suma de velocidades y$\gamma$es el factor de Lorentz . Se puede ver que las Ecuaciones 2a y 2b se reducen a 0a y 0b en el límite$V_{o} \ll c$porque$\gamma \rightarrow 1$y el segundo término en las Ecuaciones 2a y 2b son de segundo orden en$\tfrac{ V_{o} }{ c }$. El$\tfrac{ \mathbf{V}_{o} }{ c } \times \mathbf{E}$desaparece cuando vuelve a convertir a unidades SI porque$B \rightarrow c \ B$entonces hay un factor de$\tfrac{ V_{o} }{ c^{2} }$en ese término.

Las leyes que gobiernan los fenómenos electromagnéticos no son invariantes bajo la Transformación de Galileo , sino que son invariantes bajo la Transformación de Lorentz .

Una vez que esto se ha establecido, podemos abordar su pregunta: los campos magnéticos y los campos eléctricos (y también la fuerza magnética y la fuerza eléctrica) dependen del marco si cambia el marco de referencia utilizando la transformación de Lorentz . Sin embargo, el efecto combinado de los campos eléctricos y magnéticos (así como la Fuerza de Lorentz) no depende del marco bajo la Transformación de Lorentz . Esta es la razón por la que nos gusta hablar de campos electromagnéticos , y no de campos eléctricos y magnéticos por separado.

La pregunta ahora es: ¿por qué usamos la transformación de Lorentz en lugar de la transformación de Galileo estándar? Bueno, como mencioné anteriormente, las leyes del electromagnetismo no son invariantes bajo la transformación de Galileo; esto significa que incurriremos en problemas si no aceptamos utilizar la Transformación de Lorentz. Por ejemplo : las leyes del electromagnetismo predicen que la velocidad de la luz debe ser constante en cada marco de referencia, pero esto es obviamente absurdo bajo la transformación de Galileo.