Aproximación de los ángulos de Euler con hipótesis de rotación pequeña

Perdón por aburrirlos durante las vacaciones de verano, mis amigos. Me obsesiona la expresión aproximada de la matriz de rotación del ángulo de Euler que se encuentra en este libro de texto . En el apéndice, el autor declara que la matriz angular convencional de Euler (Tait-Bryan) podría aproximarse a la siguiente forma de segundo orden como

[ 1 1 1 ] + [ 0 − θ z θ y θ z 0 − θ X − θ y θ X 0 ] − 1 2 [ θ y 2 + θ z 2 θ X 2 + θ z 2 θ X 2 + θ y 2 ] + [ 0 θ X θ y θ X θ z θ X θ y 0 θ y θ z θ X θ z θ y θ z 0 ]
Normalmente, las dos primeras matrices se utilizan para aproximar los ángulos de Euler siguiendo la hipótesis de rotación pequeña. Y en mi mente, la segunda matriz representa físicamente el movimiento de rotación de pequeñas rotaciones. Sin embargo, no se presentan más explicaciones y análisis en el libro de texto para todas las demás matrices. Por lo tanto, me pregunto si alguien podría compartir alguna idea con esta forma de aproximación (no puedo encontrar una aproximación similar en ningún otro lugar que no sea en el libro de texto ). Muchas gracias por adelantado.

Creo que la cuarta matriz, como la tercera matriz, debe multiplicarse por un factor de 1/2.

Respuestas (1)

Esto se sigue de la fórmula de rotación de Rodrigues .

Definir θ como la magnitud de la rotación, θ = θ X 2 + θ y 2 + θ z 2 , y la matriz k como

k = 1 θ [ 0 − θ z − θ y − θ z 0 − θ X − θ y − θ X 0 ]
Tenga en cuenta que el cuadrado de esta matriz es
k 2 = 1 θ 2 [ − θ y 2 − θ z 2 θ X θ y θ X θ z θ X θ y − θ X 2 − θ z 2 θ y θ z θ X θ z θ y θ z − θ X 2 − θ y 2 ]

Por la fórmula de rotación de Rodriques, la matriz de rotación es

R = I + pecado ⁡ θ k + ( 1 − porque ⁡ θ ) k 2
A segundo orden, esto se convierte en
R ≈ I + θ k + 1 2 θ 2 k 2 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] + [ 0 − θ z − θ y − θ z 0 − θ X − θ y − θ X 0 ] + 1 2 [ − θ y 2 − θ z 2 θ X θ y θ X θ z θ X θ y − θ X 2 − θ z 2 θ y θ z θ X θ z θ y θ z − θ X 2 − θ y 2 ]

Gracias por su respuesta inmediata y muy útil. La fórmula de rotación de Rodrigues amplía mi comprensión de la matriz de rotación. Definitivamente tiene razón en que el coeficiente antes de la cuarta matriz debe ser 0.5, si la matriz de rotación se construye mediante la fórmula de Rodrigues. Sin embargo, se encuentra que el coeficiente se convierte en 1 cuando se aplica la expansión de Taylor en una rotación por ángulos de Euler. Es muy extraño. Gracias de nuevo.
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