método de cálculo

La serie de Taylor de una función de$d$variable es la siguiente:

$$f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \sum_{n_1=0}^{\infty}\ldots\sum_{n_d=0}^{\infty} \frac{(y_1-x_1)^{n_1} \ldots (y_d - x_d)^{n_d}}{n_1!\ldots n_d!} \left. \left( \partial_1^{n_1}\ldots \partial_d^{n_d} \right) f \right|_{\mathbf{x}}.$$

dónde$\partial_i^{n_i} f$significa "el$n_i^{\text{th}}$derivada parcial de orden de$f$Con respeto a$i^{\text{th}}$coordenada". Considere sólo los términos donde$\sum_{i=1}^{\infty} n_i = 1$. Estos son los términos para los que solo se toma una derivada, también conocidos como "términos lineales". manteniendo el$0^{\text{th}}$término de orden y los términos lineales dan

$$f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f(\mathbf{x})+\sum_{i=1}^{d}(y_i - x_i) \left. (\partial_i f \right)|_{\mathbf{x}} . \qquad (*)$$

Definir el desplazamiento$\epsilon = \mathbf{y} - \mathbf{x}$. Entonces

$$\epsilon \cdot \nabla = \sum_{i=1}^d (y_i - x_i) \partial_i$$

por definición de lo que$\cdot$medio. Por lo tanto, manteniendo solo los términos lineales,$(*)$se convierte

$$f(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \left. (\epsilon \cdot \nabla)\right|_{\mathbf{x}}f .$$

Como puede ver, su fórmula es correcta, solo que en una notación particular a la que quizás no esté acostumbrado.

método algebraico

En aras de escribir menos, voy a explicar esto en una dimensión, pero nada en el cálculo real está restringido a una dimensión.

El vector de estado se puede considerar como una combinación lineal de vectores propios del operador de posición

$$|\Psi\rangle = \int_x \Psi(x) |x\rangle \qquad (1)$$

dónde$\hat{x}|x\rangle = x|x\rangle$. traer un sostén$\langle y |$desde la izquierda y usando$\langle y | x \rangle = \delta(x-y)$en (1) da

$$\langle y | \Psi \rangle = \Psi(y) . \qquad (2)$$

Combinando (1) y (2) da

$$|\Psi\rangle = \int_x |x\rangle \langle x| \Psi \rangle \qquad (3)$$

lo que demuestra que$\int_x |x\rangle \langle x | = \text{Identity}$. Entendamos realmente lo que todo esto significa: Eq. (1) simplemente dice que puedes escribir un vector como una combinación lineal de vectores base. En este caso,$\Psi(x)$son los coeficientes en la combinación lineal. En otras palabras, la función de onda son solo los coeficientes de una expansión de combinación lineal escrita en la base de la posición. ecuación (2) hace esto explícito al mostrar que el producto interno de un vector de base de posición$|y\rangle$con$|\Psi\rangle$es precisamente$\Psi(y)$. ecuación (3) simplemente expresa una forma ordenada de expresar el operador de identidad de una manera que encontraremos muy útil. Tenga en cuenta que esto funciona con cualquier base. Por ejemplo,

$$\int_p |p\rangle \langle p | = \text{identity} .$$

Podemos usar esto para expresar un vector propio de posición en términos de vectores propios de momento,

$$|x\rangle = \int_p |p\rangle \langle p | x \rangle = \int_p e^{-i x p/\hbar}|p\rangle ,$$ donde hemos usado el hecho de que $\langle x | p \rangle = e^{i p x/\hbar}$[1].

Ahora volvamos a la pregunta que nos ocupa. Definir$|\Psi'\rangle \equiv e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar}|\Psi\rangle$. Evaluemos$\Psi'(y) \equiv \langle y|\Psi'\rangle$:

$$\begin{align} \Psi'(y) &= \langle y | \Psi' \rangle \\ &= \langle y| e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |\Psi \rangle \\ &= \langle y| e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} \int_x \Psi(x) |x\rangle \\ &= \int_x \Psi(x) \langle y | e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle . \end{align}$$

Para proceder necesitamos calcular$e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle$. Podemos hacer esto usando nuestra expresión para la identidad en términos de estados de momento,

$$\begin{align} e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle &= e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} \left( \int_p |p\rangle \langle p | \right) | x \rangle \\ &= \int_p e^{i \epsilon \hat{p} / \hbar} |p\rangle \langle p | x \rangle \\ &= \int_p e^{i \epsilon p / \hbar} |p\rangle \langle p | x \rangle \\ &= \int_p e^{i \epsilon p /\hbar} |p\rangle e^{-i p x/\hbar}\\ &= \int_p e^{-i(x - \epsilon) p / \hbar} |p\rangle \\ &= |x - \epsilon \rangle \end{align}$$

Esto es realmente lo que debe recordar acerca de esta pregunta:

$$e^{i\epsilon\hat{p}/\hbar}|x\rangle = |x - \epsilon \rangle .$$

Esta es una ecuación excelente porque te dice algo acerca de cómo un$e^{i \epsilon \hat{p} /\hbar}$El operador cambia un vector propio de posición sin tener que escribirlo en una base particular.

Ahora que tenemos eso, podemos volver a lo que estábamos tratando de calcular,

$$\begin{align} \Psi'(x) &= \int_x \Psi(x) \langle y | e^{i \epsilon \hat{p}/\hbar} |x \rangle \\ &= \int_x \Psi(x) \langle y | x - \epsilon \rangle \\ &= \int_x \Psi(x) \delta(y - (x - \epsilon)) \\ &= \Psi(y + \epsilon) . \end{align}$$

Esta es la ecuación que querías probar. Si arruiné algún signo menos, espero que alguien lo edite :)

[1] No estoy demostrando eso, y si quieres saber por qué eso es cierto, sería una buena pregunta en este sitio.