Hermitian Adjunto del operador diferencial

Question

Hermitian Adjunto del operador diferencial

Durga Datta

Encontré esta ecuación (identidad) (Ec. 4 en este artículo ):

$\int(-i d\psi/dx)^*\psi dx = \int \psi^*(-i d\psi/dx) dx + id(\psi^*\psi)/dx\mid_{-\infty}^{+\infty}$

Tengo problemas para demostrarlo. Traté de usar la integración por partes pero no pude llegar allí. ¿Cómo tomamos el conjugado complejo (Conjunto hermitiano) del operador diferencial que se presenta en esta ecuación y también de cualquier función general?

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joshfísica · Answer 1

Darse cuenta de

\begin{aligned} i \frac{d (ψ^{*} ψ)}{d X} & = \frac{d [(- i ψ)^{*} ψ]}{d X} \\ = \frac{d (- i ψ)^{*}}{d X} ψ + (- i ψ)^{*} \frac{d ψ}{d X} \\ = {(- i \frac{d ψ}{d X})}^{*} ψ + ψ^{*} (i \frac{d ψ}{d X}) \end{aligned}

$\begin{align} i\frac{d(\psi^*\psi)}{dx} &=\frac{d\big[(-i\psi)^*\psi\big]}{dx} \\ &= \frac{d(-i\psi)^*}{dx}\psi + (-i\psi)^*\frac{d\psi}{dx} \\ &= \left(-i\frac{d\psi}{dx}\right)^*\psi + \psi^*\left(i\frac{d\psi}{dx}\right) \\ \end{align}$ Ahora resta el segundo término de la derecha de ambos lados para obtener

\begin{aligned} ψ^{*} (- i \frac{d ψ}{d X}) + i \frac{d (ψ^{*} ψ)}{d X} & = {(- i \frac{d ψ}{d X})}^{*} ψ \end{aligned}

$\begin{align} \psi^*\left(-i\frac{d\psi}{dx}\right)+i\frac{d(\psi^*\psi)}{dx} &= \left(-i\frac{d\psi}{dx}\right)^*\psi \end{align}$ y finalmente integrar ambos lados de

- \infty

$-\infty$ a

\infty

$\infty$ para obtener (como señaló Stan Liou en los comentarios)

\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (- i \frac{d ψ}{d X}) + i ψ^{*} ψ |_{- \infty}^{\infty} = \int_{- \infty}^{\infty} {(- i \frac{d ψ}{d X})}^{*} ψ

$\int_{-\infty}^\infty\psi^*\left(-i\frac{d\psi}{dx}\right)+i\psi^*\psi\Big|_{-\infty}^\infty = \int_{-\infty}^\infty\left(-i\frac{d\psi}{dx}\right)^*\psi$ Observe que el término límite que escribió en la identidad tiene una derivada errónea que desaparece cuando realmente evalúa la integral y usa el teorema fundamental del cálculo.

Tienes razón, excepto que no es la identidad deseada, porque la identidad deseada es simplemente falsa. Sospecho que hay un error tipográfico en el artículo.
@StanLiou ¿En serio? ¿Falta alguna señal tal vez? No puedo ver donde hay un error.
Cuando integras, obtienes un $i(\psi^*\psi)\mid_{-\infty}^{+\infty}$ término, en lugar de $id(\psi^*\psi)/dx\mid_{-\infty}^{+\infty}$ como tiene el OP.
Oh por supuesto. ¡Gracias por señalarlo! De alguna manera seguí viendo el término límite correcto a pesar de que lo estuve mirando durante unos minutos. Gracias Stan.
No parece ser un error tipográfico en el artículo ya que el autor menciona explícitamente sobre la derivada de la densidad ( $\psi^*\psi$ ) en la línea que sigue a la ecuación. Comenzando con LHS (en lugar de al revés ), ¿cómo obtenemos RHS?
@DurgaDatta Me parece un error. Incluso por motivos dimensionales, el término límite no tiene sentido con una derivada en él.
@DurgaDatta La identidad es simplemente incorrecta y fácil de corregir. El autor en realidad no hace referencia a la versión incorrecta en ninguno de los siguientes; dice que "el producto $\psi^*\psi = \rho$ " se desvanece en el límite en el infinito, que es lo que realmente se necesita para la hermiticidad. Dice que, además de eso , las derivadas se desvanecen, lo que puede haberle dado esa impresión. La siguiente declaración sobre un resto que no se desvanece en 3D es ambigua con respecto a qué versión de la identidad que tiene en mente. Así que no usa explícitamente $id(\psi^*\psi)/dx\mid_{-\infty}^{+\infty}$ en cualquier lugar.
Cita exacta: "El producto $\psi^*\psi = \rho$ , y la densidad junto con sus derivados, desaparecen en los límites en el infinito, pero no cuando el límite tiene un valor finito. ..." Lo que parece mal expresado, pero que él está afirmando que $\rho^*\rho$ está entre las cosas que se desvanecen en el límite en el infinito es claro. Así que sus subsiguientes inferencias también se derivan de la versión corregida.
¿Hay alguna forma alternativa de probar la ecuación (corregida) comenzando con LHS? Quiero saber cómo pensaría uno cuando ve el LHS (por primera vez) y quiero compararlo mentalmente con su forma RHS equivalente.
@DurgaDatta Una vez que se elimina la derivada adicional (ya que es inconsistente por razones dimensionales como dijo Josh), la fórmula es solo un caso particular de integración por partes con algunos $i$ 's rociados, cuyos conjugados cambian algunos signos. Entonces puede probarlo con la fórmula IbP sin mover ningún término de un lado a otro. Pero IbP en sí mismo es solo una reorganización de la integral de la regla de Leibniz para la diferenciación, por lo que de todos modos estaría haciendo lo mismo que esta respuesta.

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