¿Son intercambiables el espacio y el tiempo?

Hay un sentido en el que el espacio y el tiempo son intercambiables, pero también hay un sentido muy importante en el que son distintos.

En relatividad (ambos sabores) tratamos el espacio-tiempo como una variedad de cuatro dimensiones con tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal. Explicaré la diferencia en un momento. Cualquier observador puede elegir un conjunto de coordenadas consigo mismo en el origen, luego puede medir sus tres ejes espaciales con su regla y medir su eje de tiempo con su reloj.

Pero diferentes observadores no estarán de acuerdo en sus ejes. Por ejemplo, si me muevo en relación con usted, su eje de tiempo me parecerá una mezcla de mis ejes de tiempo y espacio. Entonces, el tiempo y el espacio son intercambiables en el sentido de que lo que a ti te parece tiempo, a mí me parece una mezcla de tiempo y espacio. Si está interesado, hablo un poco más sobre esto en ¿ Qué es el tiempo, fluye y, de ser así, qué define su dirección? . Esta mezcla de las dimensiones del tiempo y el espacio está detrás de fenómenos como la dilatación del tiempo y la contracción de Lorentz.

Sin embargo, aunque diferentes observadores no estarán de acuerdo en qué constituye el espacio y qué constituye el tiempo, siempre estarán de acuerdo en que hay tres ejes espaciales y un eje temporal. La diferencia es cómo aparecen estas dimensiones en el tensor mético.

Supongamos que tomamos el viejo espacio euclidiano y te mueves una distancia$dx$a lo largo de$x$dirección,$dy$a lo largo de$y$dirección y$dz$a lo largo de$z$dirección. La distancia total recorrida,$ds$, está dado por el teorema de Pitágoras:

$$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$

En la relatividad especial tenemos una distancia total similar recorrida en el espacio-tiempo 4D, y viene dada por la métrica:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Pero tenga en cuenta que el término de tiempo$dt^2$aparece en la ecuación con un valor negativo. Esta es la diferencia clave entre el espacio y el tiempo. Los términos espaciales tienen un signo diferente al término temporal. En sentido, el espacio y el tiempo son bastante distintos.

Finalmente, ese factor de$c$es necesario porque cuando sumas cantidades tienen que tener las mismas unidades. Entonces, en la ecuación para la métrica, no podemos simplemente agregar$dt^2$y$dx^2$porque eso sería sumar segundos al cuadrado a metros al cuadrado. multiplicando por$c$convierte las unidades de tiempo para que sean iguales a las unidades de distancia.

para ver porque$c$es la velocidad de la luz echa un vistazo ¿ Qué tiene de especial la velocidad de la luz en el vacío? .

En cierto modo, sí, en relatividad general.

Como se menciona en otra respuesta, el cuadrado infinitesimal de la distancia en el espacio-tiempo 4D plano (también conocido como espacio de Minkowski ), que aparece en la relatividad especial, está dado por

$$\begin{equation} ds^2=-c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2. \end{equation}$$

Las cosas se vuelven un poco más complicadas en la relatividad general, porque el espacio-tiempo se puede curvar. En general, se convierte

$$\begin{equation} ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu, \end{equation}$$ dónde $g_{\mu\nu}$es algo llamado tensor métrico y usamos la convención de suma de Einstein en la que está implícita la suma sobre índices repetidos, es decir, RHS se suma sobre $\mu$y $\nu$que van de 0 a 3 en el espacio-tiempo 4D. En coordenadas esféricas, esto parece $$\begin{equation} ds^2=-c^2 dt^2 + dr^2 + r^2(d\theta^2+\sin^2 \theta d\phi^2). \end{equation}$$

En relatividad especial en coordenadas cartesianas,$g_{\mu\nu}$es solo una matriz diagonal con$g_{00}=-1$,$g_{11}=1$,$g_{22}=1$,$g_{33}=1$y otras entradas cero, pero en relatividad general hay muchas opciones.

En la relatividad general clásica, la única diferencia fundamental entre el espacio y el tiempo es la diferencia de signo de los valores propios del tensor métrico.

Ahora, si tenemos un espacio-tiempo con una masa puntual, entonces tenemos la métrica de Schwarzschild , dada por:

$$\begin{equation} ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2 dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2+\sin^2 \theta d\phi^2), \end{equation}$$ dónde $M$es masa.

La distancia$r_s=2GM/c^2$se llama radio de Schwarzschild. Si la masa está contenida dentro de su radio de Schwarzschild, es un agujero negro con horizonte de eventos (punto de no retorno) a distancia$r_s$.

Ahora, observe que, en métrica, los coeficientes que se multiplican$dt^2$y$dr^2$cambiar de signo cuando$r$se vuelve más pequeño que$r_s$. ¡Esto significa que, en cierto modo, las coordenadas radiales y temporales han cambiado sus roles como coordenadas de espacio y tiempo!

Esto también significa que$r$inevitablemente se hará más pequeño para el desafortunado viajero espacial que cruzó el horizonte de eventos, como por ejemplo$t$inevitablemente se hace más grande para cualquiera en el espacio-tiempo plano. El centro del agujero negro deja de ser algo "allá" una vez que cruzas el horizonte, literalmente se convierte en tu futuro.