Divergencia del campo magnético HHH

Si bien es cierto que$\rm{div}\mathbf{B}=0$ siempre y en todas partes , pero incluso si$\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$con$\mu=const$dentro de un material magnético homogéneo no es cierto que$\rm{div}\mathbf{H}=0$porque los polos superficiales se desarrollan en los límites donde$\mu_r$salta del vacio$1$a algo$\mu_r >1$dentro de la materia.

De hecho, estos polos contrarrestan, es decir, se oponen al campo B y son la fuente de lo que suele llamarse campo de desmagnetización.

Pregunta 1

Si la fuente y el espacio que la rodea son homogéneos, definitivamente tienes$\nabla \cdot \vec{H} = 0$. Sin embargo, también hay algunas circunstancias en las que tiene una discontinuidad en$\mu$pero todavía tengo$\nabla \cdot \vec{H} = 0$en todos lados. Un ejemplo sería un cilindro largo de material magnético lineal de radio$R$, con una corriente libre corriendo por el medio. Debido a la simetría de la situación,$\vec{H}$solo apunta en la dirección tangencial (no en las direcciones radial o longitudinal), y cualquier campo de este tipo está libre de divergencia.

Su diagrama, por otro lado, no es un buen ejemplo de esto, ¡por la sencilla razón de que no es un medio magnético lineal! Es fácil ver que en ese diagrama,$\vec{H}$no es paralelo a$\vec{B}$dentro del imán, lo cual es requerido por la relación$\vec{H} = \vec{B}/\mu$.

Pregunta 2

Si$\vec{M}$se conoce, podemos averiguar fcilmente donde las lneas de campo de$\vec{H}$comenzar y terminar (y viceversa). Específicamente, dado que$\nabla \cdot \vec{B} = 0$, tenemos

$$0 = \mu_0 \nabla \cdot \vec{B} = \nabla \cdot \vec{H} + \nabla \cdot \vec{M} \quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot \vec{H} = - \nabla \cdot \vec{M}.$$ En particular, podemos definir una "carga magnética" ficticia$\rho_m = - \nabla \cdot \vec{M}$; y en ausencia de corrientes libres,$\nabla \times \vec{H} = 0$. Las líneas de campo para$\vec{H}$entonces será exactamente lo que esperaríamos de un campo electrostático con una densidad de carga eléctrica$\rho_m$. En particular, las líneas de campo de$\vec{H}$fluirá desde puntos donde$\rho_m > 0$a puntos donde$\rho_m < 0$. Desde$\rho_m = - \nabla \cdot \vec{M}$, no es demasiado difícil ver que las líneas de campo de$\vec{H}$terminan donde las líneas de campo de$\vec{M}$comenzar, y viceversa.

De hecho, se puede utilizar toda la tecnología de la electrostática para resolver problemas de magnetostática a través de esta correspondencia. Se puede usar una "Ley de Coulomb" para$\vec{H}$, o se puede definir un potencial$V_m$para cual$\vec{H} = - \nabla V_m$y luego aprovechar nuestro conocimiento de la ecuación de Poisson ($\nabla^2 V_m = - \rho_m$). Dadas todas estas correspondencias, uno puede entender fácilmente por qué muchos de los primeros físicos pensaron que el magnetismo se debía a otro tipo de carga que se comportaba como una carga eléctrica, en lugar de a las corrientes.