Distribución de carga en una esfera de metal sólido en efecto de una carga puntual fuera de la esfera [cerrado]

Tiene razón, la acumulación de carga no será uniforme en todo el hemisferio.

Este es un ejemplo bastante estándar del uso del método de imágenes donde el espacio está separado en dos regiones por una superficie conductora (dentro y fuera de una esfera o arriba y abajo de un plano infinito son algunos ejemplos clásicos).

Luego, puede reemplazar el efecto neto de la distribución de carga en la superficie conductora (puesta a tierra o sin carga) con una "carga de imagen" equivalente que satisfaga las mismas condiciones de contorno (generalmente el valor del potencial en el conductor), y resolver ese problema que es generalmente considerablemente más simple. El teorema de unicidad en electrostática implica que las soluciones a ambos problemas deben ser las mismas, ya que ambos satisfacen las mismas condiciones de contorno.

Podría escribir una solución, pero ya hay una en la página de Wikipedia, así como una bastante buena aquí , que parece bastante detallada.

Hay una muy buena respuesta a una pregunta similar que también podría ayudarte.

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EDITAR: Incluyo una pista sobre la solución para una esfera sin conexión a tierra.

Encontrar el potencial:

El método de las imágenes funciona bien cuando asumimos una esfera conectada a tierra (de modo que el potencial$V=0$en la superficie). Sin embargo, con una pequeña modificación, el mismo modelo básico también puede manejar una esfera a un potencial arbitrario.$V_0$. Hacemos esto introduciendo una segunda carga.

Como se muestra en esta página , la solución para el potencial de una esfera puesta a tierra de radio$R$y un cargo$+q$A una distancia$z=a$($a>R$) desde su centro se obtiene reemplazando toda la esfera con una carga inducida

$$q' = -\frac{q R}{a}$$

en una posición

$$z = \frac{R}{a^2} < R$$

Como expliqué, se garantiza que ambos problemas tienen la misma solución por el teorema de unicidad. ¿Cómo extendemos esto a una esfera con algún potencial arbitrario? ¡Necesitamos aumentar el potencial en la superficie de la esfera mientras mantenemos una superficie equipotencial! Debería ser bastante obvio que la forma de hacer esto es, de hecho, introducir una segunda carga de imagen (digamos$q''$) en el centro de la esfera$z=0$. Dado que los potenciales son aditivos, esto simplemente cambia el potencial en la superficie de la esfera de ser$V=0$a una constante$V = V_0 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q''}{R}$, dónde$q''$se puede elegir dependiendo de$V_0$.

Si la esfera es neutra (como es el caso en su problema), entonces simplemente requerimos que$q' + q'' = 0$. Por lo tanto, ahora necesitaría encontrar el potencial para el siguiente problema

que es una extensión trivial que debería poder hacer si ha entendido cómo hacer el caso conectado a tierra, pero esta vez con 3 términos, el tercero es el potencial debido a la carga$q'' = -q'$Al origen.

Encontrar la densidad de carga superficial:

El campo dentro de un conductor es cero, y el campo exterior infinitesimalmente cercano a él está dado por

$$\mathbf{E} = -\mathbf{\vec{\nabla}}V = \frac{\sigma}{\epsilon_0}\mathbf{\hat{n}}$$

(Si tiene problemas con esta parte, le recomiendo encarecidamente que lea el Capítulo 2 de la Electrodinámica de Griffith. No lo he visto mejor explicado en ningún otro lugar).

Por lo tanto, si conocemos el potencial$V$usando esta fórmula, podemos calcular la densidad de carga superficial. Definición

$$\frac{\partial V}{\partial n} = \vec{\nabla}V \cdot \mathbf{\hat{n}}, \quad \quad \quad \quad \implies \sigma = -\epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial n}\Big|_\text{on the surface}$$

Entonces, el caso de la esfera es bastante simple, ya que en la superficie de la esfera la dirección normal es$r$. Una vez que hayas encontrado$V(r,\theta)$, usted puede encontrar fácilmente

$$\sigma(\theta) = -\epsilon_0 \frac{\partial V(r,\theta)}{\partial r}\Big|_{r=R}$$

que deberías poder hacer. Si desea verificar sus resultados, aquí hay dos soluciones:

1) Para una esfera conectada a tierra , la densidad de carga superficial inducida viene dada por

$$\sigma_0 (\theta) = \frac{q}{4\pi R}\left( R^2 - a^2 \right) \left(R^2 + a^2 - 2 R a \cos\theta \right)^{-3/2}$$

(Puede verificar esto integrando sobre todos$\theta$. ¿Cuál debería ser el resultado?)

2) Para una esfera sin conexión a tierra ,

$$\sigma(\theta) = \sigma_0 (\theta) + \frac{q}{4 \pi R a}$$