Distintas partidas cara a cara en holdem

La nota 1 en el artículo sobre Hold'em Odds explica esto un poco más:

[Nota 1] Al eliminar la reflexión y aplicar una poda de árbol de búsqueda agresiva, es posible reducir el número de combinaciones únicas de manos cara a cara de 207 025 a 47 008. La reflexión elimina los cálculos redundantes al observar que dadas las manos h_1 y h_2, si w_1 es la probabilidad de que h_1 venza a h_2 en un enfrentamiento y s es la probabilidad de que h_1 divida el bote con h_2, entonces la probabilidad w_2 de que h_2 venza a h_1 es w_2 = 1 - (s + w_1), eliminando así la necesidad de evaluar h_2 contra h_1. La poda es posible, por ejemplo, al observar que Q ♥ J ♥ tiene la misma oportunidad de ganar contra 8 ♦ 7 ♣ y 8 ♦ 7 ♠ (pero no la misma probabilidad que contra 8 ♥ 7 ♣ porque compartir el corazón afecta las posibilidades de color para cada mano).

Su pensamiento fue correcto en cuanto a que 169x1225 no tiene sentido. El número real es inferior a 169x1225, aunque no tan pequeño como 169x169. 169x278 ≈ 47.008.

Con dos cartas solo hay dos 'palos' únicos posibles. Las manos son del mismo palo o del mismo palo.

Añadir dos cartas más da más combinaciones de palos, ahora podemos tener las siguientes posibilidades de palos:

1. 1111 - del mismo palo, del mismo palo
2. 1112 - del mismo palo, de otro palo, compartiendo palo
3. 1122 - del mismo palo, del mismo palo, diferentes palos
4. 1123 - del mismo palo, del mismo palo, diferentes palos
5. 1223 - traje diferente, traje diferente, compartir un traje
6. 1212 - fuera del palo, fuera del palo, compartiendo ambos palos
7. 1234 - traje diferente, traje diferente, sin compartir trajes

Debido a la simetría 1123 es lo mismo que 2311 es lo mismo que 3211; ignoramos todas las posibilidades simétricas.

Esto no explica completamente el número real, aunque te lleva la mayor parte del camino y te da un modelo mental de las posibles combinaciones de palos con dos manos.

Como conseguir el 169

13 pares
78 del mismo palo 13 x 12 / 2
78 del mismo palo 13 x 12 / 2

Supongamos que tengo una pareja que se enfrenta a personas de distinto palo.
Las de distinto palo pueden
no coincidir con mis palos
. La carta alta coincide con una de mis suites
. La carta baja coincide con una de mis suites. Ambas cartas coinciden con mis suites.

Par a par
13 * 1 para emparejar par
13 * 12 * 3 para otro par
otro par puede tener 0, 1 o 2 coincidencias de palo
total 479