Distancia propia y tiempo propio en relatividad general

A pesar del hecho de que el espacio-tiempo generalmente no puede estar dotado de la estructura de un espacio afín, lo que significa que no podemos interpretar los vectores tangentes como apuntando de un evento a otro, podemos preservar esta idea si los eventos en cuestión están infinitesimalmente juntos. Es decir, podemos interpretar$\mathrm d \mathbf x$como el vector que apunta de un evento a otro que está infinitesimalmente cerca.

El (pseudo) producto interno de$\mathrm d\mathbf x$consigo mismo nos da una cantidad escalar que a veces llamamos longitud, magnitud o norma de$\mathrm d\mathbf x$- aunque por supuesto, ya que$g_{\mu\nu} \mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu$puede ser positivo, negativo o cero, esta es una generalización del concepto de longitud con el que estamos intuitivamente familiarizados, y no es realmente una norma en el sentido matemático.

Esta cantidad puede tener varias interpretaciones. Para hacer coincidir la convención en su pregunta, usamos la firma$(+---)$. Si$g_{\mu\nu} \mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu >0$, entonces los dos eventos están separados en el tiempo, lo que significa que podemos encontrar un marco tal que las coordenadas espaciales del primer evento sean las mismas que las coordenadas espaciales del segundo. En otras palabras, hay un observador inercial que se mueve de tal manera que ambos eventos parecen ocurrir en el mismo lugar. En las coordenadas inerciales (locales) correspondientes a dicho observador,$\mathrm d\mathbf x=(c\mathrm dt,0,0,0)$y entonces$g_{\mu\nu} \mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu = c^2 \mathrm dt^2$- el (cuadrado del) tiempo entre los dos eventos. En consecuencia, podemos interpretar$\sqrt{g_{\mu\nu} \mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu}$-que se puede calcular en cualquier sistema de coordenadas- como el tiempo entre los dos eventos medido por un observador inercial para quien los eventos parecen ocurrir en el mismo lugar .

Por otro lado, si$g_{\mu\nu} \mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu<0$, entonces los dos eventos están separados como un espacio, lo que significa que no podemos encontrar dicho marco. Sin embargo, podemos encontrar un marco en el que las coordenadas de tiempo de los dos eventos sean las mismas, es decir, los dos eventos son simultáneos. En este marco,$\mathrm d\mathbf x=(0,\mathrm d \vec x)$y entonces$\sqrt{-g_{\mu\nu}\mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu} = \sqrt{\mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2}$es la distancia espacial entre los dos eventos. Respectivamente,$\sqrt{-g_{\mu\nu}\mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu}$puede interpretarse como la distancia espacial entre dos eventos medida por un observador inercial para quien esos eventos son simultáneos .

Es importante recordar que$g_{\mu\nu}\mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu$es una noción generalizada de distancia entre eventos , no entre puntos en el espacio. La interpretación física de esa cantidad depende de la naturaleza de la separación de los dos eventos en cuestión.

Pensé$\mathrm ds^2$(y por lo tanto también$\mathrm d\tau^2$) es un invariante bajo transformaciones de coordenadas generales y, por lo tanto, ¡lo mismo en todos los sistemas!?

Sí, es cierto.$\mathrm d\tau$es el tiempo entre los eventos (separados en el tiempo) medido por un observador inercial para quien los eventos ocurren en el mismo lugar , y esto se puede calcular en cualquier marco. coincide con$\mathrm dt$- el tiempo medido en su marco - si y solo si usted es uno de los observadores antes mencionados.