¿Cuál es el contenido físico en la invariancia del intervalo de espacio-tiempo en GR?

Question

¿Cuál es el contenido físico en la invariancia del intervalo de espacio-tiempo en GR?

Ciervos lluvia

El intervalo de espacio-tiempo en un sistema de coordenadas viene dado por:

\begin{matrix} (1) & {gramo}_{m v} d X^{m} d X^{v} \end{matrix}

$g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} \tag{1}$

d x

$dx$ es un vector de desplazamiento infinitesimal entre dos eventos.

El intervalo de espacio-tiempo después de un cambio de sistema de coordenadas viene dado por el algoritmo: Cambiar la base de la matriz $g_{\mu \nu}$ , Cambiar la base del vector $dx^{\mu}$ y luego calcule la misma cantidad que en $(1)$ .

Entonces, por supuesto, un cambio de base deja invariable el intervalo de espacio-tiempo. Este es un hecho puramente matemático.

¿Cuál es el contenido físico aquí? Entiendo el contenido físico del intervalo de espacio-tiempo en $SR$ , porque allí los cuatro componentes de $dx^{\mu}$ referirse a medidas reales de espacio y tiempo utilizando relojes y palos.

En GR sin embargo, $dx^{u}$ es más abstracto ya que los cuatro índices no se refieren a medidas de espacio y tiempo sino a coordenadas generalizadas....

De hecho, incluso si asumimos que los cuatro índices de $dx^{\mu}$ en GR se refieren a medidas reales de espacio-tiempo por parte de un observador, entonces un "cambio a otro sistema de coordenadas generalizado" no significa necesariamente un "cambio a otra situación física ". Dejame explicar.

Supongamos que un observador GR mide $dx^{\mu}={dt, dx, dy, dz}$ usando palos y relojes, y calcula $(1)$ . Luego cambiamos a otro sistema de coordenadas: $(dt, r, \theta, \phi)$ , y luego calculamos $(1)$ de nuevo y encuentre que es invariante. Pero esto no es una sorpresa ya que el cambio de coordenadas fue puramente matemático. Las "nuevas coordenadas" se refieren a que el mismo observador utiliza diferentes variables para parametrizar el espacio-tiempo.

En SR, la invariancia de $(1)$ relaciona medidas de espacio-tiempo realizadas por observadores en dos situaciones físicas diferentes. En GR, este tampoco es el caso.

una mente curiosa

No estoy 100% seguro de cuál es la pregunta real aquí, pero vea esta pregunta y sus respuestas para discutir cuál es realmente la simetría especial en GR.

Ciervos lluvia

@ACuriousMind No sé nada sobre las transformaciones de calibre. no puedo entender tu respuesta

miridio

El contenido físico es una suposición subyacente de que existe una 'verdad objetiva' en el universo. Que todos los observadores, sin importar cómo midan las cosas, están midiendo el mismo objeto matemático subyacente. Las simetrías se refieren a esos cambios de coordenadas donde la física 'parece' igual para ti, y en realidad no puedes decir que estás usando un sistema de coordenadas extraño. Por ejemplo, en la física clásica, el Lagrangiano

L

$\mathcal L$ representa un campo escalar 'objetivo' sobre la variedad. Si ese lagrangiano

L

$\mathcal L$ 'parece lo mismo' escrito en dos sistemas de coordenadas, eso es una simetría.

Respuestas (2)

¿Cuál es el contenido físico en la invariancia del intervalo de espacio-tiempo en GR?

No estoy 100% seguro de cuál es la pregunta real aquí, pero vea esta pregunta y sus respuestas para discutir cuál es realmente la simetría especial en GR.
@ACuriousMind No sé nada sobre las transformaciones de calibre. no puedo entender tu respuesta
El contenido físico es una suposición subyacente de que existe una 'verdad objetiva' en el universo. Que todos los observadores, sin importar cómo midan las cosas, están midiendo el mismo objeto matemático subyacente. Las simetrías se refieren a esos cambios de coordenadas donde la física 'parece' igual para ti, y en realidad no puedes decir que estás usando un sistema de coordenadas extraño. Por ejemplo, en la física clásica, el Lagrangiano $\mathcal L$ representa un campo escalar 'objetivo' sobre la variedad. Si ese lagrangiano $\mathcal L$ 'parece lo mismo' escrito en dos sistemas de coordenadas, eso es una simetría.

Andrés · Answer 1

Andrés

En cualquier punto del espacio-tiempo $x$ , siempre puede ir a coordenadas inerciales locales donde $g_{\mu\nu}$ en $x$ es simplemente la métrica de Minkowski, $\eta_{\mu\nu}$ , y los símbolos de Christoffel desaparecen. Ojalá quede claro que en estas coordenadas, en un pequeño barrio alrededor $x$ , la interpretación del intervalo de espacio-tiempo invariante en una vecindad de $x$ es lo mismo que la interpretación del intervalo de espacio-tiempo invariante en la relatividad especial. El hecho de que el intervalo sea invariable bajo elecciones generales de coordenadas significa que podemos calcular el intervalo en cualquier sistema de coordenadas, sin tener que ir explícitamente a las coordenadas inerciales locales.

En particular, si la separación entre dos puntos cercanos es espacial, temporal o nula se puede calcular en cualquier coordenada. Dado que el valor del intervalo es invariable, sabemos sin tener que hacer ningún cálculo que siempre podemos ir a un marco inercial local donde podemos usar nuestra intuición sobre separaciones espaciales, temporales y nulas de la relatividad especial.

Ciervos lluvia

pero esta invariancia es solo una verdad matemática. Simplemente dice que puede calcular los mismos números mientras trabaja en diferentes bases vectoriales. La invariancia del intervalo en SR es un hecho sobre las mediciones del espacio-tiempo realizadas por diferentes observadores en movimiento relativo. Eso no es sólo una verdad matemática.

kurt g

@Ciervos lluvia . Debe distinguir entre las coordenadas

t, x, y, z

$t,x,y,z$ o

t, r, θ, ϕ

$t,r,\theta,\phi$ que un observador es libre de elegir, y las coordenadas primadas

t^{'}, x^{'}, y^{'}, z^{'}

$t',x',y',z'$ o

t^{'}, r^{'}, θ^{'}, ϕ^{'}

$t',r',\theta',\phi'$ que otro observador es libre de elegir. El contenido físico de la invariancia del intervalo de espacio-tiempo es que es el mismo en

S

$S$ y

S^{'}

$S'$ . La transición de SR a GR es solo que integras intervalos de tiempo de espacio infinitesimales para terminar, digamos, con el tiempo adecuado

τ

$\tau$ . Ese tiempo propio es el mismo para todos los observadores.

Andrés

@RainDeer Estás tocando un punto importante. En SR, puedes interpretar las coordenadas de forma física en términos de lo que medirías con un reloj y una regla. En GR, las coordenadas no son físicas. Cambiamos entre sistemas de coordenadas dependiendo de lo que sea útil. Sin embargo, si vas a las coordenadas inerciales locales en un punto

x

$x$ en GR, entonces (cerca

x

$x$ ), puedes pensar en las coordenadas como lo que un observador cerca

x

$x$ verías, y así puedes usar tu intuición SR en esas coordenadas.

Andrés

Sin embargo, mientras que las coordenadas inerciales locales son conceptualmente muy buenas, en la práctica, es un fastidio transformar esas coordenadas cada vez que desea hacer una pregunta sobre lo que vería un observador en el punto

x

$x$ . Entonces, el truco habitual es encontrar cantidades coordinadas invariantes que se reduzcan a algo con un significado conocido en un sistema de coordenadas que sea fácil de interpretar. Luego puede calcular la cantidad invariante de coordenadas en cualquier sistema de coordenadas.

Ciervos lluvia

¿Diría que la invariancia de Lorentz es un descubrimiento sobre el comportamiento del espacio-tiempo, mientras que la invariancia del difeomorfismo es más una verdad matemática?

Valle · Answer 2

Valle

¿Cuál es el contenido físico aquí?

El contenido físico es que las medidas de distancia y tiempo no dependen de la elección de las coordenadas.

incluso si asumimos que los cuatro índices de 𝑑𝑥𝜇 en GR se refieren a medidas reales de espacio-tiempo realizadas por un observador,

No, esa no es una suposición válida. Las coordenadas no son medidas, son solo etiquetas. Las medidas reales del espacio-tiempo son invariantes como $g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$

youpilat13

O una liendre o podría estar equivocado:

g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}

$g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ es una medida real solo si el intervalo es similar al tiempo/luz, ¿verdad? Para el intervalo espacial, cualquier medida real de longitud sería una medida "bidireccional" y no sería simplemente

g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}

$g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ . Por ejemplo, Zee, Capítulo V.3, Ec. (9). Me doy cuenta de que uno puede definir una longitud adecuada a lo largo de una curva espacial y será la integral de

\sqrt{g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}}

$\sqrt{g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu}$ pero no estoy seguro si es algo que uno puede medir.

miridio

Las medidas de distancia y tiempo dependen de la elección de las coordenadas; eso es lo que es la elección! Tenemos los llamados marcos inerciales como ese subconjunto especial de opciones de coordenadas que reproducen la misma física de una manera 'invariante de forma' (por ejemplo, una elección de Lagrangiano, o integral de trayectoria en QFT, 'parecen' iguales cuando se escriben en dos formas diferentes). sistemas de coordenadas: esto es una simetría). Más generalmente, otras elecciones de coordenadas pueden ser simetrías de algunas teorías, por ejemplo, la llamada 'invariancia de escala' en QED con un fermión sin masa.

Valle

@Myridium No estoy de acuerdo. Un reloj mide la misma cantidad de tiempo entre dos eventos en su línea de tiempo, independientemente de las coordenadas utilizadas. De hecho, incluso puede usar coordenadas que no tengan coordenadas temporales o múltiples coordenadas temporales. Independientemente de las coordenadas, el reloj mide lo mismo

miridio

Entonces, las medidas de distancia y tiempo (las coordenadas, los vectores tangentes) cambian, pero la métrica cambia de forma covariante, de modo que el intervalo de espacio-tiempo es invariable. O bien, puede decir que la física cambia, de modo que todo el proceso avanza a la mitad de la velocidad (lo que representa una escala de cómo se mide el tiempo).

Valle

@DivjDC es un poco complicado para intervalos espaciales. Suponga que tiene longitudes marcadas en una cuerda ideal que ha tensado. La cuerda forma una hoja del mundo que mide

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ a lo largo de ciertas geodésicas que se encuentran en la hoja del mundo. Esas geodésicas se encuentran tomando cualquier evento en la hoja del mundo y yendo "en línea recta" en la dirección perpendicular a la congruencia de la cuerda y paralela a la cuerda. Definitivamente no es trivial qué longitud se está midiendo, pero de hecho es una medida de longitud.

¿Cuál es el contenido físico en la invariancia del intervalo de espacio-tiempo en GR?

Ciervos lluvia

una mente curiosa

Ciervos lluvia

miridio

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Andrés

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kurt g

Andrés

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youpilat13

miridio

Valle

miridio

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