¿Cuál es el significado físico de las coordenadas Eddington-Finkelstein?

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein usan las mismas coordenadas de posición que las coordenadas de Schwarzschild, solo se transforma la coordenada de tiempo, así que primero considere cómo definir las coordenadas de Schwarzschild de forma física. Este pdf explica una forma de definir las coordenadas de posición en la sección 9.1.1:

• Podemos asignar una definición práctica a la coordenada radial$r$por

1. Encerrando el origen de nuestro espacio-tiempo de Schwarzschild en una serie de esferas concéntricas,

2. Medir para cada esfera un área de superficie (conceptualmente colocando varillas de medición de extremo a extremo),

3. Asignación de una coordenada radial$r$a esa esfera usando Área =$4\pi r^2$

• Entonces podemos usar distancias y trigonometría para definir las variables de coordenadas angulares$\theta$y$\phi$.

Del mismo modo, pág. 159 del libro Relativity, Gravitation and Cosmology de Robert Lambourne, que se puede ver en línea aquí , menciona que la coordenada radial de Schwarzschild se construye de modo que una esfera de radio$r$tendrá una circunferencia adecuada de$2\pi r$, es decir, la distancia medida colocando una serie de reglas cortas de extremo a extremo a lo largo de un gran círculo en la esfera.

Supongo que este método presupone que sabe cómo asegurarse de que las superficies que ha construido sean en realidad esferas que no giran, pero sospecho (aunque no estoy seguro) que este sería el caso siempre que los observadores en posiciones fijas en relación con la superficie todos vieron el tamaño aparente del horizonte de eventos del agujero negro (que bloquea la luz de las cosas detrás de él) como si fuera el mismo (y constante con el tiempo), todos sintieron la misma aceleración adecuada medida por un acelerómetro, y todos midieron la las fuerzas de marea sean las mismas en pequeñas regiones a su alrededor. Por cierto, una vez que haya determinado que se encuentra en una posición fija en las coordenadas de Schwarzschild con radio$r$, entonces si también ha medido la aceleración adecuada$a$en su ubicación, entonces dado que la aceleración adecuada en las coordenadas de Schwarzschild viene dada por$a = (1 - 2M/r)^{-1/2} M/r^2$(como se menciona en la página 152 de Relatividad de Robert Wald , en línea aquí ; tenga en cuenta que este libro usa unidades donde$G=c=1$, así que si quieres incluir esas constantes, creo que la ecuación se convertiría en$a = (1 - (2GM/rc^2))^{-1/2} GM/r^2$ ), puedes usar esto para resolver la masa$M$del agujero negro.

Una vez que haya fijado las coordenadas de posición y calculado la masa del agujero negro, para medir el tiempo en las coordenadas de Schwarzschild puede colocar relojes estándar en posiciones fijas y tener una segunda pantalla de "coordenadas de tiempo de Schwarzschild" separada de la pantalla del reloj (la del reloj). la pantalla está contando intervalos de tiempo propio , distintos del tiempo de coordenadas), con los dos vinculados por una computadora programada para simplemente incrementar la coordenada de tiempo de Schwarzschild hacia adelante por$1/\sqrt{1 - (r_0/r)}$unidades de tiempo cada vez que el reloj estándar avanza 1 unidad de tiempo; aquí$r$es el radio del reloj y$r_0$es el radio de Schwarzschild $r_0 = 2GM/c^2$(por eso era importante determinar la masa$M$del agujero negro). Esto asegurará que un intervalo de tiempo coordinado$dt$está relacionado con un intervalo de tiempo propio$d\tau$por la fórmula correcta para la dilatación del tiempo gravitacional en coordenadas de Schwarzschild,$d\tau = dt \sqrt{1 - (r_0/r)}$.

El último paso en una construcción física de las coordenadas de Schwarzschild sería asegurarse de que no solo las pantallas de coordenadas de tiempo de Schwarzschild en cada ubicación marcan la velocidad correcta, sino que todos los relojes también están correctamente sincronizados. Esto se puede hacer con algo análogo al método de sincronización de reloj de Einstein , pero para relojes en posición constante en coordenadas de Schwarzschild en lugar de relojes de inercia; la idea es que el reloj A envíe una señal de luz al reloj B cuando A lea$t_0$, entonces cuando B recibe la señal en$T$inmediatamente envía una señal de luz a A, y si A recibe la señal de regreso en$t_1$, los dos relojes se definen como "sincronizados" si$T$está exactamente a medio camino entre$t_0$y$t_1$. El hecho de que este método pueda usarse en coordenadas de Schwarzschild se menciona en la p. 186 de Conceptos astrofísicos de Martin Harwit, que se puede ver en línea aquí . Tenga en cuenta que los tiempos anteriores están destinados a ser tiempos en las pantallas de coordenadas de tiempo de Schwarzschild, no el tiempo adecuado de los relojes estándar.

Ese es un método físico para construir el sistema de coordenadas de Schwarzschild. Como se menciona aquí , en relación con las coordenadas de Schwarzschild, "las coordenadas entrantes de Eddington-Finkelstein se obtienen reemplazando la coordenada$t$con la nueva coordenada$v = t + r^*$ ", dónde$r^*$se definió anteriormente como relacionado con la coordenada de Schwarzschild$r$por$r^* = r + 2GM \ln | (r/2GM) - 1 |$. Entonces, en lugar de tener una pantalla de "coordenadas de tiempo de Schwarzschild" al lado de cada reloj físico, puede tener una pantalla de "coordenadas de tiempo entrantes de Eddington-Finkelstein", con la computadora calculando primero la coordenada de tiempo de Schwarzschild$t$utilizando el método descrito anteriormente, y luego calculando$v = t + r + 2GM \ln | (r/2GM) - 1 |$y mostrando eso$v$. ¡Eso es todo! Los sistemas de coordenadas son bastante arbitrarios en GR, cualquier transformación suave de un sistema de coordenadas físicamente significativo es otro sistema de coordenadas físicamente significativo, y las ecuaciones de campo de Einstein se mantendrán en todos ellos. Entonces, siempre que tenga un método físico para implementar un tipo de sistema de coordenadas, un método físico para construir cualquier otro sistema de coordenadas relacionado con el primero mediante una transformación conocida es simplemente tener computadoras en cada punto que toman como entrada el ejemplificado físicamente. coordenadas en el primer sistema, calcule la transformación y muestre como salida las coordenadas correspondientes en el segundo sistema. Es posible que haya una forma más "directa" de construir el segundo sistema de coordenadas, pero en realidad no es necesario.

¿También estás preguntando en parte sobre la motivación física?por elegir esta transformación particular de las coordenadas de Schwarzschild, en lugar de simplemente cómo se podrían asignar las coordenadas de los eventos con instrumentos de medición físicos? Si es así, creo que el principal atractivo de las coordenadas entrantes de Eddington-Finkelstein es que aseguran que los rayos de luz que viajan hacia el agujero negro en caminos puramente radiales tendrán todos la misma velocidad de coordenadas constante a lo largo de su viaje, mientras que en las coordenadas de Schwarzschild la velocidad de las coordenadas de un rayo de luz entrante se ralentiza continuamente a medida que se acerca al horizonte de sucesos (y, de hecho, nunca alcanzará el horizonte en ningún tiempo de coordenadas finitas en las coordenadas de Schwarzschild, mientras que lo hacen en las coordenadas entrantes de Eddington-Finkelstein). Los rayos de luz salientes emitidos en una dirección radial alejándose del agujero negro no t tienen una velocidad de coordenadas constante en las coordenadas entrantes de Eddington-Finkelstein, aunque hay un sistema de coordenadas separado llamado "coordenadas salientes de Eddington-Finkelstein" donde las tienen, pero los rayos de luz entrantes no. Si desea un sistema de coordenadas en el que los rayos de luz entrantes y salientes tengan una velocidad de coordenadas constante, intenteCoordenadas de Kruskal-Szekeres .

Las coordenadas no son físicas. Dependen completamente de usted. En las coordenadas de Eddington Finkelstein, las líneas de constante$u$ $\theta$y$\phi$son líneas radiales nulas que salen al infinito mientras$r$es la coordenada tal que las superficies barridas por la simetría esférica tienen un área de$4 \pi r^2$. (es decir, tome un punto del espacio-tiempo. Aplique una simetría esférica (rotación). Haga eso con todas las rotaciones posibles y obtendrá una esfera. Mida su área, saque la raíz cuadrada de esa área sobre$4 \pi$, y llamamos a eso la coordenada$r$. Por lo tanto, puede etiquetar todos los puntos en el espacio-tiempo con algún valor para$r$. Etiquete los puntos en una de esas superficies con$\theta$y$\phi$utilizando el enlace estándar entre ellos y las rotaciones de esa esfera. Ahora elige el polo,$\theta=0$, y construya los vectores ortogonales a esa superficie en ese polo.

La función$\textrm{grad } r$es un vector ortogonal a cada una de esas superficies de constante$r$. Desde cualquier punto de esa esfera que etiquetaste con$\theta$y$\phi$, construya una geodésica con$\textrm{grad } r$como el vector tangente. Donde esas geodésicas se cruzan con otras esferas de simetría esférica, etiquete esos puntos con el mismo valor de$\theta$y$\phi$como en esa primera esfera. En cada punto de la superficie de cada una de las esferas que ya has etiquetado con$\theta$y$\phi$, construya el vector nulo que apunta hacia afuera ortogonal a la esfera. (Habrá dos vectores nulos en cualquier punto que sean ortogonales a cualquier vector tangente a la esfera. Uno de ellos, será tal que a lo largo de una recta con ese vector como tangente,$r$aumentará a medida que avanza hacia el futuro). Construya la geodésica nula con ese vector como tangente. Donde se cruza con cualquier esfera que aún no haya etiquetado por$\theta$y$\phi$, utilícelo para dar una etiqueta de$\theta$y$\phi$a los puntos de esa esfera. La simetría esférica asegurará que este etiquetado sea consistente, es decir, no descubrirá que si se topa con una esfera que ya ha sido etiquetada, los valores de$\theta$y$\phi$asignado al punto de intersección ya habrá sido etiquetado de manera diferente. La etiqueta$u$se elegirá de manera que la superficie formada por todas las geodésicas nulas que emanan de una esfera tenga la misma etiqueta$u$. Hasta ahora$u$es arbitrario Elige la coordenada$u$de modo que el gradiente de la función$u$punteado en el gradiente de la función$r$es la unidad Esto construye las coordenadas nulas salientes de Eddington Finkelstein. Para construir los entrantes, lleve a cabo el procedimiento anterior pero en su lugar elija en cada punto el vector nulo entrante ($r$disminuye a medida que avanza en el futuro).

Lo anterior define las coordenadas de Eddington Finkelstein mediante un proceso "físico". La simetría de traducción de tiempo de la métrica de Schwartzschild asegura que no importa qué punto eligió inicialmente para comenzar el proceso anterior. Todos producen las mismas coordenadas excepto por una transformación de agregar una constante a la función$u$, y de hacer una rotación del$\theta$y$\phi$coordenadas

Supongamos que comenzamos con las coordenadas de Schwarzschild$(t,r,\theta,\phi)$ya dado (aunque fácilmente podríamos empezar con menos). Para elegir una construcción física correcta, primero considere la transformación de coordenadas teórica requerida. Para la variante nula entrante de las coordenadas de Eddington-Finkelstein, la nueva coordenada se transforma a partir de las coordenadas de Schwarzschild como$v=t+r^*$dónde

$$r^*\equiv r+2M\ln\Big\lvert\frac{r}{2M}-1\Big\rvert$$ Desde $v=\textrm{const}$para fotones entrantes radiales, basamos nuestra construcción en esto. Elija una esfera de fijo $r=r_0$y coloque láseres a su alrededor, apuntando directamente hacia abajo/hacia adentro. Luego emiten pulsos de fotones que codifican numéricamente el valor de $t+r^*$en el momento de la emisión. Entonces en cualquier evento con $r<r_0$, intercepte el pulso de luz más cercano y tome su $v$-valor para su coordenada.

No comer$r=r_0$, la transformación se convierte simplemente$v=t+\textrm{const}$. Así que podrías ignorar la constante y simplemente tomar$v':=t$como valor inicial. Si$r_0\gg 2M$, simplemente tome el tiempo adecuado del láser, ¡suponiendo que todos estén sincronizados en la esfera! Puede construir coordenadas nulas salientes de manera similar.